2. Несобственный интеграл второго рода
Пусть функция
интегрируема на любом конечном промежутке
,
а точка
является особой точкой функции
(например
).
Тогда несобственным интегралом от
функции
по
промежутку
называют
и обозначают так же, как и определённый
интеграл
.
Если указанный предел существует, то
несобственный интеграл сходится, в
противном случае говорят, что несобственный
интеграл расходится.
В частности, если существует первообразная
функции
на
промежутке интегрирования
,
тогда
=
=
=
=
=
=
,
где подстановка в точке
означает
вычисление
.
Пример. Вычислим
.
Так как
при
,
то рассматриваемый интеграл является
несобственным интегралом второго рода
и, по определению,
= (применим правило Лопиталя) =
=
=
–
=
.
Следовательно, рассматриваемый интеграл сходится и равен –1.
Если же особой точкой функции
является точка
,
тогда
=
=
.
Например,
=
=
=
и этот интеграл расходится.
Если особая точка
лежит внутри промежутка интегрирования
,
тогда, по определению, несобственный
интеграл
=
+
.
ЛИТЕРАТУРА
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1, Т.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2003.– 460с.
Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие/ Н.М.Матвеев. – СПб.: Издательство «Лань», 2003.–832с.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов. В 2 т.Т.1. и Т.2./ Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2002.- 415 с. и 544с.
Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник в 3-х т. / Г. М. Фихтенгольц. - 9-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009.–608,800, 672с.
Оглавление
Введение 3
Задания к контрольной работе 1 4
Методические указания к контрольной работе 1 11
Определители 13
1. Определитель второго порядка 14
2. Определитель третьего порядка 14
3. Определители более высокого порядка 15
Обратная матрица 15
Решение линейных систем с помощью обратной матрицы 18
Таблица производных основных элементарных функций 36
Производные более высокого порядка 38
Дифференциал и его свойства 40
Задания контрольной работы 2 41
Методические указания к контрольной работе 2 47
Экстремум функции двух переменных 62
Таблица неопределенных интегралов 65
Свойства определенного интеграла 69
Методы интегрирования 70
Список литературы 75