1 Первый учебный вопрос. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии)

На растянутом стержне сделаем сечение, нормаль к которому расположена под углом α к оси стержня (рисунок 1, а). Такой же угол будет между сечением и вертикалью. Левая отсеченная часть стержня показана на рисунке 1, б. На наклонной площадке действует полное напряжение р_α. Из условия равновесия имеем:

где А_α – площадь наклонного сечения, равная

где А – площадь поперечного сечения стержня.

Из приведенных выражений получаем:

(1)

Здесь σ – напряжение в поперечном сечении.

Рисунок 1 – Напряжения в наклонных сечениях стержня

Полное напряжение раскладываем на нормальное σ_α и касательное τ_α (рисунок 1, в).

(2)

подставив в формулу (2) выражение (1), получим:

(3)

Формулы (3) полностью определяют напряженное состояние, так как позволяют вычислить напряжения во всех площадках, проходящих через данную точку.

2 Второй учебный вопрос. Закон парности касательных напряжений

Можно сделать математическое преобразование формул (3), приводящее к уравнению окружности в координатах τ – σ. Ее графическое изображение, круговая диаграмма Мора, при растяжении показана на рисунке 2.

Рисунок 2 – Круговая диаграмма Мора

В поперечном сечении при α = 0 нормальное напряжение максимально (точка К), а касательное напряжение равно нулю.

В сечении, параллельном оси стержня (точка L), напряжения равны нулю. Максимальное и минимальное значения нормального напряжения при отсутствии касательных напряжений называются главными напряжениями. Они расположены на главных площадках. Главные площадки взаимно перпендикулярны.

Точки на концах диаметра показывают напряжения во взаимно перпендикулярных площадках. Максимальные касательные напряжения возникают в площадках сдвига, расположенных под углом 45° к главным площадкам. Из диаграммы видно, что максимальные касательные напряжения равны половине нормальных напряжений в поперечном сечении

τ_max = 0,5σ_max

Точка М показывает напряжения σ_α, τ_α в площадке, расположенной под некоторым углом α. В точке N показаны напряжения в площадке под углом α + 90°. Можно видеть, что сумма нормальных напряжений в любых взаимно перпендикулярных площадках постоянна

σ_α + σ_{α + 90} = σ_min + σ_max

Из диаграммы видно, что касательные напряжения во взаимно перпендикулярных площадках равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. В этом состоит закон парности касательных напряжений. Направление (знак) касательных напряжений считается положительным, если они стремятся повернуть элемент по часовой стрелке.

На рисунке 3 показан вырезанный из стержня элемент с напряжениями на его гранях.

Рисунок 3 – Нормальные и касательные напряжения на гранях

вырезанного из стержня элемента

При различных видах напряженного состояния круги Мора перемещаются вдоль оси σ.