Волновой процесс и его характеристики.

Источником волн любой природы (механические, электромагнитные и т.д.) являются колебания.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или просто волной.

Для характеристики волнового процесса используются все физические величины, которые использовали для описания колебаний: амплитуда, частота, период, фаза и т далее.

К новым физическим характеристикам относятся:

- длина волны это расстояние между двумя точками пространства, колеблющимися в одной фазе,

- скорость распространения волны это скорость, с которой перемещается в пространстве гребень (максимум) волны.

,

Где - длина волны; Т – время, за которое через выбранную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Механическая волна может распространяться только в среде и на большие расстояния, но при этом не происходит переноса вещества, частицы которого колеблются в ограниченном объёме пространства.

При любом волновом процессе происходит перенос энергии.

По типу колебаний среды, в которой распространяются механические волны, различают два вида волн:

Продольные волны - это волны, вызывающие колебания частиц среды, совпадающие с направлением распространения волны.

Поперечные волны - это волны направление колебаний частиц среды при их распространении перпендикулярно направлению распространения волны.

Для распространения поперечных волн необходимо, что бы среда обладала модулем сдвига. Продольные волны могут распространяться в любой упругой среде.

Назовем фронтом волны геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту наблюдения.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называют волновой поверхностью.

Любой фронт волны одновременно является и волновой поверхностью.

Уравнение бегущей волны.

Уравнением волны называется функция, которая определяет смещение колеблющейся точки, как функцию координат и времени.

Эта функция должна быть периодична относительно координат и времени.

Найдём вид функции в случае плоской волны (фронт такой волны является плоскостью), предполагая, что колебания частиц среды являются гармоническими.

Для упрощения задачи направим оси координат так, чтобы ось OX совпадала с направлением скорости распространения волны. В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны оси OX и смещение частиц будет зависеть только от координаты х и времени t .

.

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости , описываются функцией:

.

Найдем вид этой функции в плоскости колебаний частиц, соответствующей произвольному х.

Время, за которое волна пройдет расстояние х равно:

.

Следовательно, колебания частиц в плоскости х будут отставать от колебаний частиц в плоскости х = 0 на время .

.

Рис. 33

При выводе данного уравнения мы полагали, что амплитуда волны всегда одинакова, т.е. среда энергию волны не поглощает.

Введём волновое число , которое равно:

Учитывая, что , получим: .

Так как, , можно записать:

Если же плоская волна распространяется в произвольном направлении, тогда уравнение будет иметь вид:

,

где - расстояние от источника волн до волновой поверхности в данный момент времени.

Выразим через радиус-вектор , соединяющий начальную точку с произвольной точкой на выбранной волновой поверхности.

.

Тогда или

Волновой вектор направлен по нормали к волновой поверхности, а его модуль равен волновому числу: .

Полученная функция является решением дифференциального уравнения, которое называется волновым.

Чтобы найти вид этого уравнения возьмём вторые производные от по координатам и времени:

Сложив последние три уравнения, получим:

Из первого уравнения выразим : .

Окончательно получим:

Поскольку , то окончательно волновое уравнение будет иметь вид: