5. Марковские модели безаварийности функционирования технических объектов

Как указывалось ранее, технический объект может находиться в одном из двух состояний, безопасном и опасном. Обозначим первое состояние через 0 (ноль), второе – через 1 (единицу).

Для формализации процесса функционирования технического объекта сделаем следующие допущения.

Вероятность появления на любом промежутке времени Δt того или другого числа событий, переводящих технический объект из одного состояния в другое, не зависит от того, какое число событий попало на другие промежутки, не пересекающиеся с данным, т. е. не зависит от состояния технического объекта в предшествующие моменты времени, что является характерной чертой марковского процесса.

Вероятность того, что за элементарный промежуток времени Δt технический объект совершит два и более переходов, является величиной второго порядка малости по сравнению с вероятностью совершения за этот же промежуток времени одного перехода. Вероятность появления того или другого числа событий, переводящих технический объект из состояния в состояние, на участке времени Δt зависит лишь от длины этого участка.

На основании указанных свойств потоки событий, переводящих технический объект из одного состояния в другое, являются простейшими (пуассоновскими), а процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским.

При марковском процессе функционирования технического объекта предполагается, что их отказы возникают согласно экспоненциальному закону распределения, а время восстановления представляет собой случайную величину также с экспоненциальным законом распределения, что подтверждено многочисленными исследованиями.

Граф состояний, соответствующий рассматриваемому случайному процессу функционирования технического объекта, изображен на рис. 5.1. Цифры в кружках соответствуют возможным состояниям объекта, стрелки – возможным переходам из состояния в состояние. Возле стрелок указаны интенсивности переходов, возле дугообразных стрелок указаны вероятности остаться в течение промежутка времени Δt в исходном состоянии.

При экспоненциальном законе распределения вероятность перехода из i-го в k-e состояние в интервале (t, t + Δt) равна Δt_ik, где _ik –интенсивность потока событий, переводящих технический объект из i-го в k-e состояние.

Рис. 5.1. Граф для двух состояний технического объекта

Если технический объект в момент времени t находился в состоянии 0, то вероятность Р₀₁(Δt) его перехода в состояние 1 за малый промежуток времени Δt соответствует вероятности наступления опасного состояния за этот промежуток времени:

Р₀₁(Δt) = 1 – ехр(1 – ₀₁ Δt) ≈ ₀₁ Δt,

где ₀₁  параметр потока опасных отказов.

Вероятность Р₀₀(Δt) остаться в течение промежутка времени Δt в состоянии 0 соответствует вероятности безотказной работы (вероятности отсутствия опасных отказов) технического объекта за этот промежуток времени:

Р₀₀(Δt) = ехр(–₀₁ Δt) ≈ 1  ₀₁Δt .

Вероятность р₁₀ (Δt) перехода из состояния 1 в состояние 0 соответствует вероятности восстановления безопасного состояния (вероятности устранения опасного отказа) – за промежуток времени Δt:

Р₁₀(Δt) =1–ехр(1–₁₀ Δt) ≈ ₁₀ Δt ,

где ₁₀  интенсивность восстановления безопасного состояния (интенсивность устранения опасных отказов).

Вероятность P₁₁(Δt) остаться в течение промежутка времени Δt в состоянии 1 соответствует вероятности нахождения технического объекта в опасном состоянии:

Р₁₁(Δt) = ехр(–₁₀ Δt) ≈ 1  ₁₀ Δt. (5.1)

Для определения вероятностей безопасного Р₀(t) и опасного Р₁(t) состояний технического объекта в произвольный момент времени t воспользуемся системой дифференциальных уравнений, описывающих вероятности состоянии для дискретной системы с двумя состояниями, в которой протекает марковский процесс с непрерывным временем:

_. (5.2)

Естественно, для любого t должно соблюдаться условие

Р₀(t) + Р₁(t) = 1. (5.3)

Система (5.2) при начальных условиях Р₀(0) = 1, Р₁(0) = 0 и выполнении условий (5.3) имеет следующее решение:

(5.4)

Таким образом, допущение о марковском характере процесса функционирования технического объекта позволяет относительно просто получить зависимость вероятности безопасного состояния технического объекта от их надежностных параметров (параметра потока опасных отказов и интенсивности восстановления) и позволяет в первом приближении проанализировать наиболее эффективные пути повышения надежности и безопасности.

Проанализируем выражение (5.4) с целью установления зависимости вероятности безопасного состояния технического объекта от комплексного коэффициента опасности К_о, а также выяснения длительности интервала времени t_c , после которого устанавливается стационарное значение Р₀(t), не зависящее от времени. Это стационарное значение Р₀(t) = К_о представляет собой постоянную стационарную вероятность того, что технический объект будет находиться в безопасном состоянии в любой момент времени после t_с. Условие стационарности значения; Р₀(t) позволяет существенно упростить решение дифференциальных уравнений, описывающих вероятности состояний, заменой их алгебраическими уравнениями, что важно для аналитических исследований безопасности технического объекта, когда рассматривается число состояний, значительно больше двух.

Перепишем уравнение (5.4) с учетом коэффициента опасности:

, (5.5)

где К_o=T_у / T_б = λ₀₁ /λ₁₀ .

По уравнению (5.5) построим зависимости вероятности безопасного состояния технического объекта от времени (рис. 5.2) и от коэффициента опасности (рис. 5.3) для наиболее часто встречающихся значений их надежностных параметров (T_у , T_0, λ_01, λ₁₀).

Рис. 5.2. Зависимости вероятности безопасного состояния технического объекта от времени при различных значениях коэффициента опасности

Рис. 5.3. Зависимость вероятности безопасного состояния технического объекта P0 от коэффициента опасности при t > tc

Из приведенных зависимостей можно сделать следующие важные практические выводы.

1. Длительность интервала времени t_c, после которого устанавливается стационарное значение для технического объекта невелика и составляет всего 12 ч (две смены), что с учетом фактического ресурса, исчисляемого годами, позволяет исключить переходный процесс при анализе состояний технического объекта, т. е. рассматривать систему в момент времени t > t_c

При стационарном процессе

. (5.6)

2. С увеличением коэффициента K_o вероятность безопасного состояния резко снижается. Поэтому можно достичь высокого уровня безопасности как за счет повышения надежности, т. е. повышения наработки на опасный отказ Т_о и снижения времени устранения опасного отказа Т_y, так и за счет обеспечения условия

даже при низкой исходной надежности технического объекта.

3. Добиться малой величины значения K_o можно двумя способами: увеличением Т_о (в пределе ) или уменьшением Т_у (в пределе ). Отечественный и зарубежный опыт показывает, что значительно дешевле, проще и эффективнее использовать второй путь, существенно повышая ремонтопригодность технического объекта путем автоматического ввода резерва (АВР), когда вместо отказавшего элемента в системе практически мгновенно вводится новый элемент, (например, путем телемеханического управления высоковольтными взрывозащищенными КРУ, применением встроенных и переносных диагностических устройств, использованием алгоритмов поиска опасных отказов и т. д.).

4. При заданном уровне безопасности можно определить нормативные требования к надежности технического объекта. Для этого на рис. 5.4 приведен график, построенный по уравнению (5.6). Задаваясь требуемым уровнем безопасности (например, исходя из требований ГОСТ 12.1.010-76, в котором задана допустимая вероятность взрыва на любом взрывоопасном участке, или ГОСТ Р 12.3.047-98, который нормирует вероятность воздействия на людей опасных факторов пожара) по графику на рис. 5.4 определяем одновременно показатели Т_о и Т_y , которые находятся в строгом соответствии между собой.

Рис. 5.4. Зависимости между надежностными показателями технического объекта То и Ту, при которых обеспечивается требуемый уровень безопасности

При этом получается, множество пар значений Т_o и Т_y, что позволяет наметить наиболее эффективные мероприятия по достижению требуемых уровней безопасности – либо за счет повышения безотказности, либо за счет улучшения ремонтопригодности.