1.3.2. Попередня обробка результатів вимірювань

Обробка результатів вимірювань полягає в обчисленні найвірогіднішого зна­чення вимірюваної фізичної величини.

Для аналізу величин, що мають випадковий характер (випадкові похибки), об­робка результатів вимірювання ґрунтується на методах теорії ймовірності і матема­тичної статистики. Так як випадкова похибка є складовою частиною загальної похибки, до складу якої ще входить систематична складова похибок результатів вимірювань, то споча­тку необхідно виявити і усунути систематичні похибки.

1.3.3. Способи виявлення і усунення систематичних похибок

Систематична складова похибки залишається постійною або закономірно змі­нюється за повторних вимірювань однієї і тієї ж фізичної величини, наприклад, по­стійна похибка через неправильне градуювання шкали відліку вимірювального при­ладу; похибка, що закономірно змінюється, наприклад, за рахунок розрядки елемен­тів живлення приладу вимірювання, тощо. Характеристику якості вимірювань, що відображає близькість до нуля систе­матичної складової похибки вимірювання називають правильністю вимірювання. Усунути систематичні похибки можна за рахунок введення поправок Δ, які чисельно дорівнюють значенню абсолютної систематичної похибки Δх, але протилежній їй за знаком:

Δ = -Δх

Поправка – це значення величини, що алгебраїчно додається до результату вимірювання для вилучення систематичної похибки.

Інструментальну систематичну похибку можна виявити перевіркою за­собу вимірювання за допомогою зразкового засобу, що має вищу точність. Значення абсолютної похибки Δх вимірювального приладу обчислюють за виразом

Δх_п = х – х_д,

де х_п – показ приладу, що перевіряється; хд - дійсне значення вимірювальної ве­личини, встановлене за допомогою зразкового вимірювального приладу у якого клас точності повинен бути значно вищий за робочий.

1.3.4. Визначення границь не виключених залишків систематичної похибки

Результати вимірювань, з яких виключено розглянуті систематичні похибки, називають виправленими. Однак виявити всі систематичні похибки не мож­ливо. Навіть після виключення інструментальних, особистих та методичних похибок у результатах вимірювань знаходять місце, так звані, залишки систематичних похи­бок. Виявити їх можливо на основі аналізу умов проведення експерименту. Якщо ві­домо, що похибка результату вимірювання визначається рядом залишків невиклю­чених систематичних похибок, кожна з яких має свою певну ймовірність, то при не­відомих законах розподілу їх границі сумарної похибки (Θ) обчислюють за форму­лою:

(1.1)

де m – число невиключених похибок; Θі– межа і-ої невиклю-ченої систематичної похибки; k– коефіцієнт який дорівнює 1,1 при ймовірності р = 0,95.

1.3.5. Обробка результату багаторазових прямих вимірювань

Так як кількість вимірювань не може бути нескінченним, це практично здійс­нити не можливо. Навіть при достатньо великій кількості вимірювань виникають похибки, зумовлені багатьма факторами (зміною умов проведення вимірювань, суб‘єктивними факторами впливаючими на експериментатора тощо).

Як свідчить практика, що в деяких випадках велика кількість вимірювань обме­жена часом (обробки результатів вимірювань при екстремальних випадках). Для вибірки з n значень х_і оцінкою математичного сподівання випадкової ве­личини (її найвірогіднішим значенням) є середня арифметична отриманих результа­тів спостережень:

,

Отже, середнє арифметичне є більш достовірним значенням, яке можна надати вимірюваній величині.

Оскільки в якості оцінки дійсного значення вимірюваної величини береться се­реднє арифметичне результатів спостережень, то до оцінки випадкових похибок до­цільно використовувати випадкові відхилення результату спостережень від серед­нього арифметичного

,

Якщо відхилення d_i дуже малі то результати вимірювань близькі один до од­ного і, ймовірно, дуже точні. Якщо деякі з відхилень великі, то на точні результати вимірювань не можливо розраховувати. В теорії ймовірності доводиться що вибіркове середньоквадратичне відхилення окремих результатів спостережень (σ_х) виражається через випадкові відхилення d_і за формулою Бесселя:

(1.2)

Як показує дослід, при багаторазовому вимірю­ванні однієї і тієї ж фізичної величини проведеному за допомогою одного й того ж приладу, в однакових умовах, з однаковою старанністю результати спостережень будуть (хоч і не значно) відрізнятись один від одного. Це вказує на те, що при бага­торазових вимірюваннях результати спостережень та їх похибки є випадковими ве­личинами.

При цьому необхідно визначити, яке значення при­йняти як кінцевий результат вимірювання. Відповідь на це питання дає математична статистика для якої ця задача є однією із випадків знаходження оцінок числових функцій розподілу.

Довірчі межі результату вимірювання

Нормальний розподіл випадкових величин дає змогу обчислити ймо­вірність перебування випадкової величини Х у певних межах.

Так можна вважати: з ймовірністю Р = 0,683, що величина Х не виходить за межі від μ-σ до μ+σ (тобто перебу­ває в межах ); з ймовірністю Р = 0,955, що величина х перебуває в межах _; з ймовірністю Р = 0,997, що величина Х перебуває в межах . В теорії ймовірності розроблені методи побудови довірчих (надійних) меж, в яких при даній ймовірності перебуває істинне значення виміряної величини для ви­падку, коли число спостережень досить невелике та коли похибки підпорядкову­ються нормальному розподілу або близькому до нього.

Довірчі межі визначаються за нерівністю:

, (1.3)

де t_S – ­ коефіцієнт Стьюдента (цей коефіцієнт запропонований у 1908 р. англій­ським математиком Уїльямом Госсетом), – ­ середньоквадратичне відхилення значення (математичного сподівання μ). При нормальному розподілі похибок, можна вважати, що відхилення від μ не пере­вищує

, (1.4)

Випадкова похибка

Випадкова похибка ε визначається за формулою

(1.5)

Коефіцієнт t_S є функцією вимірювань n та довірчої ймовірності Р (t_S = f n, P), і визначається за таблицею розподілу Стьюдента (табл. 3.1). Таким чином довірчі межі де з заданою довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення виміряної величини Х

. (1.6)

Таблиця 1.1

n		Р= 0,95	Р = 0,99	n	Р= 0,95	Р= 0,99
2		12,706	63,657	12	2,201	3,106
3		4,303	9,925	13	2,179	3,055
4		3,182	5,841	14	2,160	3,012
5		2,776	4,604	15	2,145	2,977
6		2,571	4,032	16	2,131	2,947
7		2,447	3,707	17	2,120	2,921
8		2,365	3,499	18	2,110	2,898
9		2,306	3,355	19	2,101	2,878
10		2,262	3,250	20	2,093	2,861
11		2,228	3,169	∞	1,960	2,576

Значення t _S для прямих вимірювань

У технічних вимірюваннях (як лабораторних, так і виробничих) обчислення ви­конується з ймовірністю Р = 0,95; в окремих випадках, коли експеримент неможливо повторити, приймають Р = 0,99. Тільки в особливих випадках, якщо результати експерименту впливають на життя і здоров‘я людей, слід брати Р = 0,997.

Виявлення та виключення грубих похибок

Для виявлення грубих похибок (помилок) існує декілька критеріїв, такі як: кри­терій Q, Романівського, 3S, V та інші.

Для визначення грубих похибок при невеликому числі вимірювань може бути використаний критерій Q (цей критерій переважно використовують при обро­бці результатів хімічних та біологічних досліджень).

Критерій Q визначається за формулою:

, (1.7)

де х₁ – сумнівне значення члену вибірки; х₂ – сусіднє з ним значення у ранжируваному ряду; х_max – х_min – різниця між максимальним і міні­мальним значенням у ранжируваному ряду. Обраховану величину Q порівнюють з Q_табл – табличним значенням критерію при даних прийнятої ймовірності Р і числі ступенів вільності f. При аналітичних дослідженнях хімічних та біологічних напрямків Р = 0,95. Чи­сло ступенів визначають за формулою:

,

де n – кількість вимірювань (визначень). Якщо Q > Q_табл даний результат є грубою похибкою і його слід виключити при розрахунку середнього арифметичного вимірюваної величини). Числові значення Q_табл наведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2