1.2 Основні поняття обчислювальної математики

Обчислювальна математика відрізняється від інших математичних дисциплін і має специфічні особливості.

Обчислювальна математика — розділ математики, що включає коло питань, пов'язаних з використанням електронних обчислювальних машин. У більш вузькому розумінні обчислювальна математика - теорія чисельних методів і алгоритмів розв'язання типових математичних задач.

До задач обчислювальної математики відносять:

• розв'язання лінійних рівнянь;

• знаходження власних значень і векторів матриць;

• розв'язання нелінійних алгебраїчних рівнянь;

• розв'язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь;

• розв'язання диференціальних рівнянь;

• розв'язання систем диференціальних рівнянь;

• розв'язання інтегральних рівнянь;

• задачі апроксимації, інтерполяції, екстраполяції.

В обчислювальній математиці можна виділити наступні розділи:

• аналіз математичних моделей, пов'язаний із застосуванням ПЕОМ у різних галузях наукової й практичної діяльності;

• розробка методів і алгоритмів розв'язання типових математичних задач, що виникають при дослідженнях математичних моделей;

• теорія й практика програмування задач для ПЕОМ.

Аналіз математичних моделей містить у собі вивчення постановки задачі, вибір моделі, аналіз і обробку вхідної інформації, чисельне розв’язання математичних задач, що виникають у зв'язку з дослідженням моделі, аналіз результатів обчислень, і, нарешті, питання, пов'язані з реалізацією отриманих результатів. У табл. 1.1 показана класифікація математичних моделей за різними ознаками.

Таблиця 1.1. Класифікація математичних моделей

Ознаки класифікації	Види математичних моделей
Приналежність до ієрархічного рівня	Моделі мікрорівня Моделі макрорівня Моделі метарівня
Характер відображуваних властивостей об'єкта	Структурні Функціональні
Спосіб подання властивостей об'єкта	Аналітичні Алгоритмічні Імітаційні
Спосіб одержання моделі	Теоретичні Емпіричні
Особливості поведінки об'єкта	Детерміновані Імовірнісні

Розглядаючи математичний аналіз явища як свого роду теоретичний експеримент, із загальних і досить природних міркувань процес математичного моделювання розбивається на кілька етапів.

1. Формулювання математичної моделі явища. Математична модель будь-якого досліджуваного явища через його надзвичайну складність повинна охоплювати найважливіші для розглянутої задачі сторони процесу, його істотні характеристики й формалізовані зв'язки, що підлягають врахуванню. Як правило, математична модель досліджуваного фізичного явища формулюється у вигляді рівнянь математичної фізики. На цій стадії аналізу - це істотно нелінійні, багатомірні системи рівнянь, що містять велике число невідомих і параметрів.

2. Проведення математичного дослідження отриманої моделі й одержання відповідного розв’язку. На цьому етапі моделювання залежно від складності розглянутої моделі застосовують різні підходи до її дослідження й різний зміст вкладається в поняття розв’язку задачі. Скажемо, доказ теорем існування та єдиності в певному сенсі вирішує задачу, однак, будучи найчастіше неконструктивним, він не дозволяє вирішити проблему вивчення етапів одержання рішення й оцінки його кількісних характеристик.

Для найбільш грубих і нескладних моделей вдається одержати їхнє аналітичне рішення. Варто обмовитися — використання засобів символьних обчислень на ПЕОМ, таких як REDUCE, MAXIMA, MAPLE і «інтелектуальних калькуляторів» MATHEMATICA, MATHCAD, MATLAB, істотно революціонізувало це поле діяльності.

Для найбільш точних і складних моделей основними методами розв'язання є чисельні методи, що вимагають проведення великого обсягу необхідних обчислень на ПЕОМ. Ці методи дозволяють домогтися гарного кількісного й навіть якісного результату в описі моделі.

Наведена на рис.1.1 схема частково відображує взаємозв'язки етапів математичного моделювання. Кожний з етапів математичного дослідження моделі пов'язаний з використанням чисельних методів і одержанням чисельного розв’язку.

Рис. 1.1. Взаємозв'язок етапів математичного моделювання

3. Аналіз спроможності запропонованої моделі, тобто осмислення результатів розв’язку, зіставлення отриманого розв’язку з наявними даними фізичного експерименту. На цьому етапі вирішується питання про спроможність математичної моделі й проведеного дослідження. Гарне узгодження з експериментом звичайно свідчить про правильність вибору моделі. У противному випадку необхідні додаткові уточнення, зміни й повторення попередніх етапів дослідження.

Використання ПЕОМ у процесі математичного дослідження моделі вимагає специфічних чисельних методів, тобто такої інтерпретації математичної (дискретної або обчислювальної) моделі, що може бути реалізована на ПЕОМ. Оскільки ПЕОМ виконує тільки арифметичні й логічні операції, то для реалізації обчислювальної моделі потрібна розробка відповідного обчислювального алгоритму