4.2. Анализ электрических цепей методом узловых напряжений
При выполнении п.1.2.5 курсовой работы сначала надо сформировать систему уравнений для анализа цепи по методу узловых напряжений.
Рекомендуется
сначала получить систему, используя
матрицу инциденций
,
матрицу
параметров
матрицы источников тока
и ЭДС, в
соответствии с матричной записью метода:
,
где
- матрица искомых узловых напряжений.
Затем проверить полученный результат, составив систему уравнений непосредственно по схеме.
Для этого рекомендуется источники напряжения преобразовать в источники тока (рис.9). Затем, в соответствии с заданием, (прил. 2) выбрать опорный (базисный) узел и обозначить его 0.
В рассматриваемом
примере в качестве базисного выбран
узел
и обозначен 0. Узловые напряжения
остальных узлов (
,
на рис.9) направлены к опорному узлу. При
этом напряжение ветви
в исходной и преобразованной ветви
остается неизменным.
Рис.9. Преобразование источников напряжения
Вид преобразованной
ЭЦ рассматриваемого варианта представлен
на рис.10. Там же указаны положительные
условные направления узловых напряжений
,
,
.
Составим систему
линейных алгебраических уравнений по
методу узловых напряжений. Число
уравнений равно
.
В данном случае
где собственные
проводимости узлов
,
,
равны суммам проводимостей ветвей,
присоединенных соответственно, к узлам
,
и
;
общие проводимости
узлов
,
,
отрицательны и их значения по модулю
равны суммам проводимостей ветвей,
соединяющих соответствующие пары узлов;
узловые токи
,
,
равны алгебраическим суммам токов
источников токов ветвей, соединенных
со своими узлами, причем знак плюс
берется у тока, направленного к узлу.
Рис. 10. Схема ЭЦ, преобразованная для составления уравнений
по методу узловых напряжений
Для описанного примера (рис.10) уравнения по методу узловых напряжений имеют вид:
,
,
,
где
,
.
Решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, определим узловые напряжения , , .
Вычислим напряжения ветвей. В рассматриваемом примере (рис.10) имеем:
,
,
,
,
,
.
В силу того, что переход от схемы ЭЦ (рис.4) к схеме ЭЦ (рис.10) осуществлен на основании эквивалентных преобразований, эти напряжения в равной мере характеризуют ветви схемы представленной на рис.4.
Вычислим токи ветвей. В ветвях без источников имеем:
,
,
.
Для ветви 3 с
источником напряжения имеем:
,
откуда
.
Для ветви 2 с
источником тока получаем сначала
,
а затем
.
Для ветви 1 с
источниками напряжения и тока имеем:
,
.
4.3. Анализ эц методом эквивалентного источника напряжения
В соответствии с вариантом задания (см. прил.2) для одной из ветвей схемы требуется определить ток, используя теорему об эквивалентном источнике напряжения.
Согласно этой
теореме при определении тока в произвольной
ветви
с сопротивлением
(рис.11,а) всю остальную заданную ЭЦ по
отношению к этой ветви можно заменить
эквивалентным источником напряжения
с внутренним сопротивлением
(рис.11,б).
Таким образом,
искомый ток
.
Чтобы найти
,
необходимо разомкнуть ветвь
и вычислить напряжение
на ее зажимах (рис.11,в), при этом
=
.
Сопротивление
- это входное сопротивление по отношению
к зажимам пассивного двухполюсника, в
который обращается заданная ЭЦ при
условии исключения всех ее источников:
источники напряжения закорочены,
источники тока - разомкнуты (рис.11,г).
Обратимся к рассматриваемому примеру.
Найдем ток в ветви 4. Для решения задачи
необходимо найти две величины:
и
.
а) б) в) г)
Рис. 11. К методу эквивалентного источника напряжения
Рис. 12. Схема ЭЦ для определения
Чтобы вычислить
,
разомкнем ветвь 4, или, что тоже, исключим
ее из ЭЦ (рис.12). Цепь упростилась. Если
бы токи ее ветвей были известны, то, в
соответствии с уравнением равновесия
напряжений для произвольного контура,
замыкающегося по пути от точки 1 к точке
3, можно было бы найти
.
Например, для контура, показанного на
рис.14 пунктиром:
,
откуда
.
Положим токи
и
контурными и для их определения
воспользуемся уравнениями:
,
.
Эту часть задания
можно решать также методом наложения,
определяя составляющие токов от каждого
из четырех источников:
(рис.13,а),
(рис.13,б),
(рис.13,в) и
(рис.13,г). При этом искомые токи получают
в виде сумм:
,
.
Определить
можно также через узловые напряжения:
,
что весьма целесообразно в случае, если
задание выполняется с помощью ЭВМ. При
этом следует повторить решение системы
уравнений для узловых напряжений при
условии
.
а) б)
в) г)
Рис. 13. К методу наложения
Обратимся к
определению сопротивления. Перед тем,
как приступить к определению
,
необходимо исключить все источники ЭЦ
(источники напряжения закоротить,
источники тока разомкнуть) и рассматривать
цепь как пассивный двухполюсник по
отношению к зажимам
–
(рис.14,а). Сопротивление
можно вычислить путем последовательных
преобразований ЭЦ и сведения ее к одному
сопротивлению. Например, преобразуем
«звезду»
в «треугольник»
(рис.14,б):
,
,
.
Затем учитываем,
что пары сопротивлений
и
,
и
соединены параллельно, между собой -
последовательно, и все вместе –
параллельно с
:
,
,
,
.
а) б) в)
Рис. 14. Схемы для определения
Можно преобразовать
«треугольник»
в «звезду» (рис.14,в):
,
,
.
При этом формула для вычисления приобретает другую, равноценную форму:
.
Возможна также
некоторая рационализация счета на ЭВМ.
Для нее предварительно рассмотрим
заданную ЭЦ при условии, что в ней, в
ветви 4, действует единственный источник
- источник напряжения
(рис.15). Очевидно, что в этом случае ток
определяется выражением
,
и, следовательно, искомый ток
.
Рис. 15. Схема к определению входного сопротивления
Ток
удобно найти, обратившись к системе
уравнений для контурных токов, которая
ранее была составлена для ЭЦ (см. рис.4).
Если решение этой системы осуществляется
с помощью компьютерной программы, то
целесообразно его выполнить дважды,
учитывая, что новая система отличается
от прежней лишь правыми частями, а именно
,
,
.