Завдання 4. Перетин поверхні площиною

Задача 10. Побудувати ортогональні проекції лінії перетину та фігури перерізу геометричного тіла фронтально-проекціювальною площиною. Визначити натуральну величину фігури перерізу. Зобразити зрізане геометричне тіло в прямокутній ізометричній або диметричній проекції.

10.1 10.2 10.3 10.4

Розміри геометричного тіла та положення січної площини взяти з таблиці за варіантами.

Варіант	Номер задачі	Діаметр основи (діаметр описа-ного кола) d, мм	Висота гео-метричного тіла h, мм	Відстани від осі до сліду січної площини a, мм	Кут нахилу січної площи-ни α, град.
01; 26; 51; 76	10.1	60	110	70	30
02; 27; 52; 77	10.2	70	100	35	45
03; 28; 53; 78	10.3	80	90	20	60
04; 29; 54; 79	10.4	60	110	30	45
05; 30; 55; 80	10.1	70	100	60	30
06; 31; 56; 81	10.2	80	90	25	60
07; 32; 57; 82	10.3	60	110	40	45
08; 33; 58; 83	10.4	70	100	70	30
09; 34; 59; 84	10.1	80	90	35	45
10; 35; 60; 85	10.2	60	110	20	60
11; 36; 61; 86	10.3	70	100	30	45
12; 37; 62; 87	10.4	80	90	60	30
13; 38; 63; 88	10.1	60	110	25	60
14; 39; 64; 89	10.2	70	100	40	45
15; 40; 65; 90	10.3	80	90	70	30
16; 41; 66; 91	10.4	60	110	35	45
17; 42; 67; 92	10.1	70	100	20	60
18; 43; 68; 93	10.2	80	90	30	45
19; 44; 69; 94	10.3	60	110	60	30
20; 45; 70; 95	10.4	70	100	25	60
21; 46; 71; 96	10.1	80	90	40	45
22; 47; 72; 97	10.2	60	110	70	30
23; 48; 73; 98	10.3	70	100	35	45
24; 49; 74; 99	10.4	80	90	20	60
25; 50; 75; 00	10.1	60	110	30	45

Вказівки до виконання завдання 4. На аркуші формату А3 зобразити три проекції заданої фігури та нанести слід-проекцію січної площини. Фронтальна проекція лінії перетину співпадає з фронтальним слідом площини. Дві інші проекції лінії перетину отримують побудовою. Натуральну величину фігури перерізу визначають способом заміни площин проекцій. Допоміжну проекціювальну площину розміщують так, щоб вона була паралельною січній площині.

Вказівки до розв’язання задачі 10.1. Побудувати три проекції правильної прямої шестигранної призми. Дві грані призми (основи) є правильними шестикутниками, а бічні грані – паралелограми. Бічні ребра призми перпендикулярні до основи. Виконати перетин призми фронтально проеціювальною площиною Σ, нахиленою до горизонтальної площини проекцій під кутом α.

Рисунок 7. Проекції призми

Фронтальна проекція фігури перерізу збігається з фронтальним слідом-проекцією Σ₂ (рис. 4). Проекції вершин фігури перерізу – точки 1₂, 2₂, 3₂ – визначають на перетині фронтальних проекцій бічних ребер призми зі слідом-проекцією Σ₂, а точки 4₂, 5₂ – на перетині фронтальних проекцій ребер верхньої основи призми з Σ₂. Горизонтальні проекції точок 1₁, 2₁, 3₁ збігаються з горизонтальними проекціями відповідних ребер, а проекції 4₁ і 5₁ отримані на перетині проведених вертикальних ліній зв’язку з горизонтальною проекцією верхньої основи призми.

Натуральна величина фігури перерізу визначена способом заміни площин проекцій (фігура перерізу спроеційована на площину П₄, паралельну січній площині).

Вказівки до розв’язання задачі 10.2. Побудувати три проекції правильної чотиригранної піраміди. Основа піраміди – правильний чотирикутник (квадрат), вісь проходить через центр основи. Бічні грані піраміди – рівнобедрені трикутники. Виконати перетин піраміди фронтально проеціювальною площиною Σ, нахиленою до горизонтальної площини проекцій під кутом α

Форма фігури перерізу буде залежати від положення січної площини

Фронтальна проекція фігури перерізу збігається з фронтальним слідом-проекцією Σ₂ (рис. 8). Горизонтальну і профільну проекції визначаємо з умови належності точок перетину ребрам піраміди.

Натуральна величина фігури перерізу визначена способом заміни площин проекцій (фігура перерізу спроеційована на площину П₄, паралельну січній площині).

При побудові аксонометричної проекції зрізаної піраміди слід пам’ятати, що співвідношення дійсних розмірів і розмірів на аксонометричному зображення визначене лише для напрямків, що збігаються чи паралельні напрямкам аксонометричних осей.

Рисунок 8. Проекції піраміди

Вказівки до розв’язання задачі 10.3. Побудувати три проекції прямого кругового циліндра. Вісь циліндра перпендикулярна до основи, яка має форму круга. Виконати перетин піраміди фронтально проеціювальною площиною Σ, нахиленою до горизонтальної площини проекцій під кутом α. На горизонтальну площину проекцій обидві основи проеціюються в натуральную величину, тобто в круг; бічна циліндрична поверхня проеціюється в коло. Проекції всіх точок, ліній та фігур, що належать циліндричній поверхні, збігаються з цим колом. На фронтальну та профільну площини проекцій круговий циліндр проеціюється у вигляді прямокутника, ширина якого дорівнює діаметру циліндра, а висота – висоті циліндра.

На рис. 9 зображений прямий круговий циліндр, перетнутий фронтально проекцію-вальною площиною Σ. Горизонтальну проекцію основи циліндра поділено на вісім рівних

частин. З кожної точки поділу проведені вертикальні лінії до перетину із слідом-проекцією січної площини. Провівши горизон-тальні лінії зв’язку від фронталь-них проекцій точок, отримуємо профільні проекції точок, що належать лінії перетину. Еліпс, що утворився в перерізі, на площину П1 проекціюється в коло основи, на площині П2 має вигляд відрізка прямої, а на площині П3 це еліпс, одна з осей якого дорівнює діаметру кола основи. Якщо січна площина утворює з висотою прямого кругового циліндра кут 45º, еліпс на профільній площині проекцій має вигляд кола.

Рисунок 9. Проекції циліндра

Вказівки до розв’язання задачі 10.4. Побудувати три проекції прямого кругового конуса. Вісь конуса перпендикулярна до основи, яка має форму круга. Виконати перетин конуса фронтально проеціювальною площиною Σ, нахиленою до горизонтальної площини проекцій під кутом α

На горизонтальну площину проекцій конус проеціюється в круг, центр якого – проекція вершини конуса. На площинах проекцій П₁ і П₂ конус зобразиться рівнобедренним трикутником, основа якого дорівнює діаметру кола, а висота – висоті конуса.

Залежно від положення січної площини при перетині конуса можна одержати такі фігури: коло, якщо січна площина паралельна основі конуса; трикутник, якщо площина проходить через вершину конуса; еліпс, якщо січна площина нахилена до осі під кутом, більшим кута нахилу твірної до осі; парабола, якщо, січна площина паралельна твірній конуса; гіпербола, якщо січна площина нахилена до осі під кутом, меншим кута нахилу твірної до осі, і не проходить через вершину, або паралельна осі.

На рис. 10 зображено побудову перетину прямого кругового конуса фронтально проеціювальною площиною Σ (Σ₂).

Рисунок 10. Проекції конуса

У перерізі конуса площиною утворюється повний еліпс, оскільки січна площина перетинає всі твірні конуса і нахилена до його осі під кутом, більшим за кут нахилу твірних. Фронтальні проекції 1₂, 2₂, 3₂ … n₂ точок еліптичного перетину співпадають із слідом Σ_2, тобто відрізок 1₂5₂ є фронтальною проекцією фігури перетину. Проводячи з точок 1₂, 2₂, 3₂ ... n₂ вертикальні і горизонтальні лінії зв'язку до перетину з відповідними проекціями твірних на П₁ і П₃, одержуємо горизонтальні і профільні проекції точок еліпса 1₁, 2₁, 3₁... n₁ та 1₃, 2₃, 3₃ .. n₃.

Визначаємо головні осі еліпса перетину. Великою віссю буде відрізок 1₂5₂, а мала вісь проеціюється на площину П₂ в точку 6₂ (7₂), що знаходиться посередині відрізка 1₂5₂.

Щоб визначити горизонтальну проекцію малої осі (і одночасно її натуральну величину), через точку 6₂ (7₂) проводимо допоміжну горизонтальну площину Θ. Ця площина перетинає бічну поверхню конуса по колу радіуса R. Одержаним радіусом бу-дуємо горизонтальну проектцію кола і з точки 6₂ (7₂) проводимо лінію зв'язку до перетину з колом в точках 6₁ і 7₁. Хорда 6₁7₁ і дає натуральну величину малої осі еліпса.

Приклад виконання аркуша 4 дано на рис. 11.

10

Рис. 11. Приклад виконання аркуша 4