1.2 Порядок выполнения расчетно-графических работ «Вычисление геометрических характеристик плоских сечений»

Задание. Для сложного сечения, в соответствии со своим вариантом (рисунки 1.4 – 1.7), с выбранными по заданной строке из таблиц 1.1 и 1.2 размерами требуется:

а) вычислить главные моменты инерции;

б) вычислить главные радиусы инерции.

Таблица 1.1 – Исходные данные к задаче «Геометрические характеристики плоских сечений», задачи № 1.1 – 1.3.

№ строки	Полоса (прямоугольник)		Швеллер (ГОСТ 8240-97)		Двутавр (ГОСТ 8239-89)		Уголок равнобокий (ГОСТ 8509-93)			Уголок неравнобокий (ГОСТ 8510-86)
	Ширина	Высота		№		№		№	d, мм		№	d, мм
	b, мм	h, мм
1	1,0	160		8		12		8	5,5		7,5/5	8
2	1,2	180		10		14		9	6		8/5	6
3	1,6	140		12		18		10	8		10/6,3	8
4	2,0	180		14		16		11	7		11/7	6,5
5	3,0	160		16		10		14	10		6,3/4	5
6	2,8	170		14		14		16	12		7,5/5	5
7	1,6	100		8		10		6	5		9/5,6	8
8	1,2	180		14		16		7	7		10/6,3	7
9	2,2	150		18		10		10	8		7/4,5	5
10	3,0	140		16		18		8	6		12,5/8	7

№ 1	№ 6
№ 2	№ 7
№ 3	№ 8
№ 4	№ 9
№ 5	№ 10

Рисунок 1.4 – Схемы составных поперечных сечений к задаче № 1.1

№ 11	№ 16
№ 12	№ 17
№ 13	№ 18
№ 14	№ 19
№ 15	№ 20

Продолжение рисунка 1.4

№ 21	№ 26
№ 22	№ 27
№ 23	№ 28
№ 24	№ 29
№ 25	№ 30

Продолжение рисунка 1.4

№ 1	№ 6
№ 2	№ 7
№ 3	№ 8
№ 4	№ 9
№ 5	№ 10

Рисунок 1.5 – Схемы составных поперечных сечений к задаче № 1.2

№ 11	№ 16
№ 12	№ 17
№ 13	№ 18
№ 14	№ 19
№ 15	№ 20

Продолжение рисунка 1.5

№ 21	№ 26
№ 22	№ 27
№ 23	№ 28
№ 24	№ 29
№ 25	№ 30

Продолжение рисунка 1.5

№ 1	№ 6
№ 2	№ 7
№ 3	№ 8
№ 4	№ 9
№ 5	№ 10

Рисунок 1.6 – Схемы сложных поперечных сечений к задаче № 1.3

№ 11	№ 16
№ 12	№ 17
№ 13	№ 18
№ 14	№ 19
№ 15	№ 20

Продолжение рисунка 1.6

№ 21	№ 26
№ 22	№ 27
№ 23	№ 28
№ 24	№ 29
№ 25	№ 30

Продолжение рисунка 1.6

Таблица 1.2 - Исходные данные к задаче № 1.3

№ строки	а, см	b, см	с, см
1	1,0	10	18
2	1,1	10,5	15,5
3	1,2	8	14
4	1,3	7,5	14,5
5	1,4	9	18
6	1,5	10,5	18,5
7	1,6	10	16
8	1,7	10,5	17
9	1,8	11	18,5
10	2,0	8	18

Порядок выполнения расчета

1.1 Вычертить в масштабе заданное сечение.

1.2 Пронумеровать каждую фигуру сечения.

1.3 Провести и обозначить в соответствии с нумерацией собственные центральные оси.

Для стандартных профилей (двутавр, швеллер, уголок) выписать из таблицы сортамента (см. справочное приложение Б) необходимые для расчета геометрические характеристики (А – площадь сечения, J_x, J_y – осевые моменты инерции относительно центральных осей фигур, J_xy – центробежные моменты инерции фигур) и размеры.

Для других нестандартных фигур (прямоугольник, круг, треугольник) использовать соответствующие формулы, приведенные в приложении Б.

1.4 Выбрать вспомогательные оси Х и Y, относительно которых определить положение центра тяжести всего сечения. Рекомендуется эти оси выбирать так, чтобы все заданное сечение находилось в I-ом квадранте выбранной системы координат.

1.5 Вычислить координаты центра тяжести составного сечения Х_C и Y_C, откладываемые от вспомогательных осей Х и Y, по формулам (1.4).

Через найденный центр тяжести составного сечения провести общие центральные оси Х₀ и Y₀ параллельно вспомогательным осям.

1.6 Вычислить моменты инерции относительно общих центральных осей Х₀ и Y₀ по следующим формулам

J_X0 = J_X^I + J_X^II + J_X^III = J_x1 + a₁²·A₁ + J_x2 + a₂²·A₂ + J_x3 + a₃²·A₃, (1.12)

J_Y0 = J_Y^I + J_Y^II + J_Y^III = J_y1 + b₁²·A₁ + J_y2 + b₂²·A₂ + J_y3 + b₃²·A₃, (1.13)

где J_xi J_yi, - осевые моменты инерции относительно собственных центральных осей фигур 1, 2, 3;

a_i, и b_i – соответственно расстояние между осями Х_i и X₀ и расстояние между осями Y_i, и Y₀.

Центробежный момент инерции относительно центральных осей равен

J_Х0Y0 = J_X0Y0^I+J_X0Y0^II+J_X0Y0^III = J_x1y1+a₁·b₁·A₁+J_x2y2+a₂·b₂·A₂+J_x3y3+a₃·b₃·A₃, (1.14)

где J_XiYi, - центробежные моменты инерции относительно собственных центральных осей Х_i, Y_i фигур 1, 2, 3.

Если хоть одна из 2-х центральных осей является осью симметрии составного сечения, то эти центральные оси являются главными центральными осями составного сечения и центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

1.7 Определить положение главных центральных осей сечения V, U по формуле (1.9).

Если tq2α₀ положительный, то оси Х₀ и Y₀ надо вращать на угол α₀ против часовой стрелки.

Если tq2α₀ отрицательный, то оси Х₀ и Y₀ надо вращать на угол α₀ по часовой стрелки.

1.8 Вычислить главные моменты инерции по формуле (1.10).

Провести проверку правильности определения J_max и J_min по формуле

J_max + J_min = J_Y0 + J_X0 = const. (1.15)

В зависимости от сечения присвоить J_max = J_U , J_min = J_V или наоборот.

1.9 Вычислить главные радиусы эллипса инерции по формулам (1.11).