1Математическое описание переноса

Существует два основных вида уравнений, на которых основывается математическое описание явлений переноса:

Собственно уравнения переноса, связывающие скорость переноса и движущую силу.

Уравнения сохранения (энергии, массы, вещества, заряда, количества движения (уравнения непрерывности). Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Скорость переноса количественно определяется плотностью потока.

Плотность потока субстанции (массы, вещества, энергии, заряда и т.д.) через некоторую поверхность равняется количеству субстанции (массы, вещества, энергии, заряда и т.д.), которое проходит через единицу поверхности за единицу времени.

- плотность потока массы

- плотность потока вещества

- плотность потока энергии

- плотность потока заряда (плотность тока =А).

Плотность потока определяется произведением концентрации частиц на среднюю скорость их движения:

Уравнение переноса связывает между собой плотность потока и силу, вызывающую этот поток.

Рассмотрим закон Ома:

, где

U – напряжение, а в нашем случае термодинамическая сила, вызывающая поток.

Перепишем этот закон в дифференциальном виде:

, где – удельная электропроводность, обратно пропорциональная удельному сопротивлению

– электрическая сила, действующая на единичный электрический заряд.

Перепишем полученное дифференциальное уравнение:

(умножили обе части уравнения на площадь s)

Так как , то

Диффузионный перенос описывается законом Фика:

, где

– коэффициент диффузии

– градиент концентрации растворенного вещества; характеризует химическую силу, действующую на растворенное вещество

Явление переноса объема описывается законом Дарси:

, где

– плотность потока объема ()

– коэффициент фильтрации (гидравлической проницаемости)

– гидростатическое давление

– механическая сила

Во всех трех случаях поток субстанции пропорционален действующей на нее силе.

1.1Уравнения сохранения

Они также называются уравнениями материального баланса или уравнениями непрерывности (неразрывности).

Найдем, как быстро изменяется количество субстанции внутри элементарного объема.

Общая схема вывода:

Рассматривается элементарный объём.

Существуют всего 2 причины изменения количества субстанции в выделенном объеме:

1. величина входящего потока не равна величине выходящего;

2. происходит генерация или распад рассматриваемой субстанции внутри объема

,

(1.1)

- сумма всех входящих (конвективных) потоков субстанции.

1.1.1Уравнение сохранения массы (уравнение непрерывности среды)

Пусть - скорость центра масс, - плотность жидкости, тогда плотность потока:

.

,

- полный поток через всю поверхность.

- скорость прироста массы в элементарном объеме.

- масса частиц в объеме .

- это левая часть уравнения ( 1 .1)

(1.2)

Потоки вдоль оси Ох:

суммарный входящий поток	(1.3)
суммарный выходящий поток	(1.4)

Возникновение или исчезновение массы происходит только в процессе ядерных реакций. В данном курсе мы не будем рассматривать такие реакции, поэтому в правой части уравнения ( 1 .1) второе и третье слагаемые будут равны нулю.

Разделим обе части уравнения на _:

- движение вещества вдоль оси Ох, - проекция скорости на ось Ох.

В общем случае

Определение дивергенции вектора : .

Другая запись:

_{В случае несжимаемой жидкости , тогда или}

,

(1.5)

_{Это уравнение непрерывности (неразрывности) сплошной среды.}

Дивергенция вектора скорости или скалярное произведение оператора набла и скорости равны нулю.