1.2. Синтез фільтру Люенбергера.

Виконання умов спостереження системи означає, що принципово можливо відновити вектор стану по вектору вимірювання. Алгоритм відновлення реалізується за допомогою спостерігача Люенбергера, який описується матричним рівнянням:

де - оцінка вектора стану Х така, що

К – матриця, розмірності n  m, яка вибирається із умов забезпечення стійкості матриці [A – KH].

Динамічну структуру БАС з фільтром Люенбергера приведено на мал. 4.

Y

Y

Мал. 4. Структура БАС з фільтром Люенбергера.

2. Синтез фільтру Калмана-б’юсі

Постановка завдання розрахунку лінійного безперервного фільтру Калмана-Б’юсі для стаціонарної системи спостереженняприведено в табл.1.

Таблиця 1

1.	Математична модель об’єкту спостереження
2.	Математична модель вимірювань	Y(t)=HX(t) + N(t)
3.	Відома статистика	V(t), N(t) – стаціонарні випадкові сигнали типу “білий шум”. Відповідні хвилювання і вимірювальний шум некорелйовані між со-бою. Математичні очікування дорівнюють нулю, кореляційні функції: KV (τ) = Qδ(t – τ); KN (τ) = Rδ(t – τ), де Q = R = 1 – одиничні матриці інтенсивнос-тей шумів
4.	Критерій оцінки спостережливості	rank [HT :ATHT:......: (AT)n-1HT] = n.
5.	Рівняння фільтру
6.	Оптимальний коефіцієнт посилення (необхідна і достатня умова мін. помилки оцінювання)	K = P HT R –1
7.	Рівняння Риккаті для визначення матриці Р в усталеному режимі (t  )	AP + PAT + CQCT – PHT R-1 HP = 0
8.	Визначення передаточних функцій фільтру	де p – оператор Лапласа, S(p) – союзна матриця [pE-(A-KH)]C.

Приклад розрахунку фільтру Калмана-Б’юсі в усталеному режимі

Об’єкт спостереження описується стаціонарною системою рівнянь:

чи в матричної формі:

 – “білий шум”.

Рівняння вимірювача:

y₁(t)=0

y₂(t) = x₂(t) + 1 n(t)

або в матричній формі:

де n(t) – “білий шум” вимірюваннь.

Рішення

Для повністю дослідженої і керованої системи фільтр буде асімтотично стійким.

І. Рівняння фільтра Калмана-Б’юсі для незміщеної оцінки

де незміщена оцінка вектору стану;

U(t) – детермінований сигнал, який забезпечує отримання незміщеної оцінки.

Рівняння фільтру в розгорнутому вигляді:

Структурна схема об’єкту дослідження і фільтра Калмана-Б’юсі представлена на мал. 5.

n(t)

Мал. 5. Структура БАС з фільтром Калмана-Б’юсі

ІІ. Визначення матриці К коеффіцієнтів підсилення.

Матриця К для фільтру Калмана-Б’юсі визначається таким чином:

К = PH^TR ^–1,

де Р – матриця Ріккаті, визначається при рішенні рівняння Ріккаті;

Н – матриця вимірювання;

R – матриця інтенсивності “білого шуму” n(t), для нашого прикладу

Основні труднощі в розрахунку фільтру заключаються в визначенні матриці К, яка пов’язана з визначенням матриці Р, яка в свою чергу повинна бути симетричною, дійсною та позитивно визначеною.

Визначення матриці Р із рішення рівняння Риккаті.

Рівняння Ріккаті в матричному вигляді має вид:

Для усталеного режиму рівняння запишеться в вигляді:

Виконавши перемноження матриць, перейдемо від матричного рівняння до системи скалярних рівнянь:

-1,24 р₁₁ + 2р₁₂ – р ²₁₂ + 1,08 = 0;

-1,12 р₁₂ + р₂₂ – 2р₁₁ – р₁₂р₂₂ + 3, 74 = 0;

-4 р₁₂ – р₂₂ – р ²₂₂ + 11,2 = 0.

З першого і третього рівнянь отримаємо:

Підставимо в друге рівняння системи. Після перетворювань одержимо:

Рішення цього рівняння дає такі корні:

(p₂₂)₁ = 0.708; (p₂₂)₂ = -4.663; (p₂₂)₃ = 2.398; (p₂₂)₄ = -2.943.

Матриці К і Р повинні містити тільки дійсні елементи. Якщо серед коренів будуть комплексні корені, то їх необхідно виключити із розрахунку.

Знайдемо значення р₁₁ та р₁₂ для отриманих коренів.

1. (p₂₂)₁ = 0.708; (р₁₁)₁ = -0.132; (р₁₂)₁ = 2.498;

2. (p₂₂)₂ = -4.663; (р₁₁)₂ = -3.268; (р₁₂)₂ = -1.48;

3. (p₂₂)₃ = 2.398; (р₁₁)₃ =-1.676; (р₁₂)₃ = 0.763;

4. (p₂₂)₄ = -2.943; (р₁₁)₄ = -0.464; (р₁₂)₄ = -0.629.

Перевіримо виконання умови позитивної визначеності матриці Р, використовуючи критерій Сильвестра.

Критерію Сильвестра задовольняє тільки одне рішення:

(p₂₂)₃ = 2.398; (р₁₁)₃ = 1.676; (р₁₂)₃ = 0.763

Таким чином:

В цьому випадку перший діагональний мінор більше нуля: 1.675 > 0;

другий діагональний мінор 1.675 * 2.398 – 0.763 > 0.

Матриця Р позитивно визначена і симетрична. В інших випадках матриця Р не являється позитивно визначеною.

Матриця К находиться як

ІІІ. Рівняння фільтру приймає вигляд:

чи в розгорнутій формі:

Після перетворень маємо остаточну математичну модель фільтру Калмана-Б’юсі:

Для оцінки стійкості фільтру необхідно визначити характеристичне рівняння фільтру:

det (pE-(A-KH))=0;

p² + 3,518p +2,271 = 0.

Фільтр стійкий, так як характеристичне рівняння фільтру є рівнянням другого порядку, для якого необхідною і достатньою умовою стійкості являється позитивність коефіцієнтів рівняння.

Фільтр відновлює вектор стану системи Х, при наявності одного датчика в вимірювачі (вимірюється тільки складова х₂). Координата х₁ відновлюється непрямо.

На цьому закінчується аналіз і оцінка багатомірних АС. По його результатам робиться висновок про властивості початкової системи і про задоволення умов, пред’являємих до БАС. Якщо вимоги не виконуються, виникає питання про синтез БАС – тобто питання про знаходження таких керувань, які забезпечать жадані характеристики початкової системи.