1.3.2. Распределение χ2 (хи-квадрат)

При моделировании экономических процессов достаточно часто приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Возможность прогнозирования поведения таких СВ осуществляется при использовании ряда специально разработанных законов распределений. К ним относятся χ²-распределение, распределения Стьюдента и Фишера-Снедекора.

Пусть имеется n независимых СВ Х_i, i = 1, 2 … n, распределенных по нормальному закону, с математическими ожиданиями m_i и средними квадратическими отклонениями σ_i, соответственно. Если считать, что математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице, тогда СВ U_i = (X_i  m_i)/σ_i имеют стандартное нормальное распределение, U_i ~ N(0,1).

Распределением χ² с ν = n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ U_i

(1.15)

Число степеней свободы ν исследуемой СВ определяется числом СВ ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется как ν = n  m.

Распределение χ² определяется одним параметром  числом степеней свободы ν: М(χ²) = ν = n  m, D(χ²) = 2ν = 2(n  m). График плотности вероятности СВ, имеющей χ²-рас­пределение, расположен только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». С увеличением числа степеней свободы распределение χ² постепенно приближается к нормальному распределению. Таблицы критических точек χ²-рас­пределения приведены в Приложении 3.

1.3.3. Распределение Стьюдента

Рассмотрим стандартную нормальную СВ U ~ N(0,1) и независимую от нее СВ V, распределенную по закону χ² с ν = n степенями свободы (обозначается V ~ ). Тогда распределение случайной величины

(1.16)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского химика и статистика Госсета) или t-распределением с n-степенями свободы (t_n).

При n > 2 M(t) = 0 и D(t) = n/n  2. График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение Стьюдента, является симметричной кривой относительно оси ординат (рис. 1.6) [11].

Рис. 1.6.

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному закону и практически при n > 30 можно считать t-распределение приближенно нормальным. Таблица критических точек распределения Стьюдента для различных значений уровня значимости α и числа степеней свободы ν (t_α,ν) представлена в Приложении 4.

1.3.4. Распределение Фишера-Снедекора

Пусть V и W  независимые СВ, имеющие χ²-распределение со степенями свободы ν₁ = m и ν₂ = n, соответственно. Тогда составленное с использованием данных СВ отношение

(1.17)

является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения, которое называют распределением Фишера – Снедекора (или F-распределением) . Представленное распределение определяется двумя параметрами – числами степеней свободы m и n (F ~ F_m,n). Числовые характеристики определяются при n > 4 следующим образом:

, .

При достаточно больших m и n это распределение приближается к нормальному. Нетрудно заметить, что , где t_n  CВ, имеющая F- распределение с числами степеней свободы ν = n, а – СВ, имеющая F-распределение с числами степеней свободы ν₁ = 1 и ν₂ = n. Таблицы критических точек F-распределения (F_a,m,n) представлены в Приложении 5.