2. Основные сведения способы соединения сопротивлений.

При расчете цепей приходится сталкиваться с различными схемами соединения потребителей. В случае с одним источником часто получается смешанное соединение, представляющее собой комбинации параллельного и последовательного соединений.

Задача расчета такой цепи состоит в том, чтобы определить токи и напряжения отдельных ее участков.

Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называют последовательным.

Участок цепи, вдоль которого проходит один и тот же ток, называют ветвью. Место соединения трех и более числа ветвей называют узлом.

Соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т.е. находятся под действием одного и того же напряжения, называют параллельным.

Рассмотрим способы соединения сопротивлений подробнее.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ:

Если несколько сопротивлений соединены так, что к концу одного сопротив ления подключено начало другого, а к концу второго - начало третьего и т.д., то такое соединение сопротивлений называется последовательным. При последовательном соединении сопротивлений:

1. Сила тока во всех участках цепи одинаковая.

2. Напряжение на зажимах цепи равно равно сумме падений напряжений на всех участках цепи.

U = U₁+ U₂+ U₃

или применяя закон Ома для отдельных участков цепи

Ir = Ir₁+ Ir₂+ Ir₃ = I(r₁+ r₂+ r₃).

Разделим левую и правую части уравнения на ток цепи, получим

r= r₁ + r₂ + r₃

Сопротивление r называется эквивалентным (общим) сопротивлением цепи, т.е которым можно заменить все сопротивления цепи, причем сила I в цепи останется прежней.

Следовательно, при последовательном соединении сопротивлений эквивалентное (общее) сопротивление всей цепи равно сумме сопротивлений всех участков этой цепи.

При последовательном соединении сопротивлений, напряжения на участках распределяются пропорционально сопротивлениям этих участков.

U₁=Ir₁; U₂=Ir₂; U₃=Ir_3.

Напряжения на последовательно соединенных резисторах пропорциональны их сопротивлениям.

Недостатком последовательного соединения является зависимость потребителей друг от друга. При выходе из строя одного из потребителей цепь разрывается и ток прекращается.

Из выражения общего сопротивления следует, что

I²r=I²r₁ + I²r₂ + I²r₃, => P=P₁+P₂+P₃.

Мощность всей цепи равна сумме мощностей отдельных участков, а также мощность отдельных участков пропорциональна сопротивлениям участков.

Параллельное соединение сопротивлений.

Е сли 2 и более сопротивлений включено между одними и теми же двумя узлами так, что напряжение на них одинаково, то соединение сопротивлений получается параллельным. При параллельном соединении цепь получается разветвленной, а параллельно включенные сопротивления служат ее ветвями.

Напряжение на приемниках одинаковое и равно напряжению между узлами

U=U₂=U₃=U_4.

По закону Ома для каждой ветки имеем

I₄=U/R₄ => U=I₄R₄

I₂=U/R₂ => U=I₂R₂

I₃=U/R₃ => U=I₃R₃,

откуда, заменяя напряжение получим

I₄R₄=I₂R₂=I₃R₃ или I₄/I₂=R₄/R₂, т.е.

силы тока, поступающие в отдельные ветви обработки пропорциональны сопротивлениям этих ветвей и прямо пропорциональны их проводимостям, следовательно, для нахождения токов в этих ветвях надо общий ток разделить на части, обратно пропорциональные их проводимостям.

Эквивалент сопротивлению называется эквивалентом проводимости, т.е. мы имеем

I=I₄+ I₂+ I₃+ …I_n…

Т.к. I=U/R, где R – общее (эквивалентное) сопротивление разветвления, то

U/R= U/r₄+ U/r₂+ U/r₃+…

Сокращаем на U и получим

1/R=1/r₄+1/r₂+1/r₃+…= g₄ + g₂+ g₃ Т.е.

Эквивалентная (полная) проводимость разветвления равна сумме проводимостей отдельных ветвей. Следовательно, для нахождения общего сопротивления при параллельном соединении необходимо сначала найти общую проводимость (g). Эквивалентное сопротивление находится как величина ей обратная.

Следует заметить, что при параллельном соединении эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из составляющих сопротивлений.

С увеличением числа параллельно включенных сопротивлений их полная проводимость растет, а полное сопротивление уменьшается.

1. Преобразуя формулу, можно получить выражение эквивалентного сопротивления разветвленной цепи

1/R=1/r₄+1/r₂+1/r₃ = (r₄r₂ + r₄r₃ + r₂r₃)/ r₄r₂r₃ , откуда

R = r₄r₂r_3/(r₄r₂ + r₄r₃ + r₂r₃)

Применяя формулу общей проводимости для двух параллельно включенных сопротивлений r₁ и r₂ получим:

1/R= r₄+r₂/r₄r₂ => R=r₄r₂/r₄+r₂

Таким образом, общее сопротивление двух параллельно включенных сопротивлений равно произведению этих сопротивлений, деленному на их сумму.

2. Частный случай

Если параллельно включено n равных сопротивлений, каждое из которых равно r, то

1/R=1/r+1/r+1/r+…1/r =>

1/R=n/r =>

R=r/n,

т.е. в этом случае общее сопротивление в n раз меньше каждого из сопротивлений.