2. Метод Фибоначчи

Рассмотрим одну из разновидностей метода половинного деления – метод Фибоначчи.

Пусть дано уравнение , где функция у= непрерывна на и . Для уточнения корня данного уравнения введем последовательность чисел Фибоначчи: , , _{, это будут числа 1,1,2,3,5,8,13,21 и т.д. Согласно данному методу, на каждом} ом этапе отрезок делят в отношении , где и соответственно е и е число из последовательности Фибоначчи. Так на первом шаге отрезок делят в отношении (пополам) и выбирают тот из них, на концах которого функция имеет разные знаки. На втором этапе выбранный суженный отрезок делят в отношении , следующие в отношениях , , В результате получаем на некотором этапе точный корень уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что (n=1,2,…). Формула для вычисления имеет вид: В качестве корня можем принять .

3. Метод Золотого сечения

Еще одним методом последовательного деления отрезка, содержащего корень уравнения, является метод золотого сечения. Его смысл состоит в делении отрезка на две неравные части так, чтобы, отношение всего отрезка к большей части, равнялось отношению большей части отрезка к меньшей (принцип «золотого сечения»).

Пусть дано уравнение , где функция непрерывна на и . Суть метода состоит в том, чтобы разделить отрезок точкой так, чтобы , решая это уравнение, получаем . Все остальные действия осуществляются аналогично предыдущему методу.

4. Метод рандомизации

Метод рандомизации также является методом последовательного сужения отрезка, содержащего корень уравнения. Но, в отличие от предыдущих рассмотренных методов, он не является строго детерминированным. В нем вводится элемент случайности, и точки деления отрезка выбираются в соответствии с определенным законом распределения. При этом в среднем можно получить выигрыш в числе этапов по сравнению с другими методами.

Пусть дано уравнение , где функция у= непрерывна на и . Точку деления текущего отрезка на каждом этапе находят из выражения , где случайное число, причем .

В результате получаем на каком-то этапе или точный корень исходного уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что (n = 1, 2, …).

В качестве корня снова выбираем .

Примерный образец оформления работы

Вычислительный бланк для метода деления отрезка пополам или его модификаций:

№	f(a)	a	b	f(b)	c=(a+b)/2	f(c)
1
2

Задание. Вычислить с точностью 0,001 корень уравнения .

1) Отделение корня: корни данного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и .

Из графика замечаем, что корни уравнения принадлежат отрезкам [4;6] и [7;8]. Уточним, например, корень, лежащий на отрезке [7;8]. Уравнение запишем в виде .