2.1.2. Қозғалысы векторлық тәсілмен берілген нүкте жылдамдығын анықтау

Нүкте М-нің қозғалысы Oxyz координаттар жүйесіне мына векторлық теңдеумен анықталсын:

.

М нүктесінің қандай да t уақытындағы орны = радиус векторымен, ал t₁=t+Δt уақыт мезгіліндегі орны ₁= ₁ радиус векторымен анықталсын (2.5-сурет). Траекторияның М және М₁ нүктелерін ММ₁ векторымен қосайық.

Сонда векторлық үшбұрыш ΔOMM₁ -ден мынадай векторлық қосынды алуға болады: ₁= +Δ Осыдан екенін анықтаймыз. Радиус –вектор -дің Δt уақыт аралығындағы алған өсімшесі Δ -ді М нүктесінің орын ауыстыруы дейміз.

Радиус-вектор өсімшесі Δ - дің оған сәйкес уақыт өсімшесі Δt -ға қатынасы, Δt –уақыт аралығындағы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады. Ол мына формуламен беріледі:

.

Орташа жылдамдық векторы _орт хорда ММ₁ бойымен қозғалыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.5-сурет).

Нүктенің берілген t уақыттағы жылдамдығы деп уақыт өсімшесі Δt-нің нөлге ұмтылған кездегі орташа жылдамдықтың ұмтылған шегін айтамыз.

. (2.6)

(2.6)–формула лездік жылдамдық немесе берілген t уақытындағы жылдамдықты анықтайды. (2.6) теңдігінің оң жағындағы қатынастың шегі уақыт бойынша алынған радиус-вектордың туындысын береді. Осыны ескерсек (2.6) –теңдікті мына түрде жаза аламыз:

. (2.7)

Берілген сәттегі нүкте жылдамдығы деп, оның радиус–векторының уақыт бойынша алынған туындысына тең болып келген векторлық шама, -ны айтамыз.

2.1.3. Қозғалысы векторлық тәсілмен берілген нүктенің үдеуі

2.6-сурет

Нүктенің қозғалысы векторлық теңдеуімен берілген дейік, сонда нүктенің Oxyz–координаттық жүйедегі радиус-векторы уақыт t–ның бірмәнді, үздіксіз дифференциалданатын функциясы ретінде анықталады:

. (2.8)

(2.8)–теңдеу нүктенің жылдамдық векторы -ның уақытқа тәуелді өзгеруін көрсететін, мынадай теңдеуді береді:

. (2.9)

Нүктенің қозғалысы кезінде жылдамдық векторы өзінің шамасында, бағытында өзгертіп отырады. Жылдамдықтың уақыт өтуіне байланысты өзгеруінің тездігін сипаттаушы физикалық шаманы үдеу деп атайды. Осы шаманы анықтайтын t мезгілінде М нүктесінің жылдамдығы болады дейік (2.6-сурет), ал уақыт t₁=t+Δt-ға, тең болған сәтте, ол ₁= +Δ болсын. Осы Δt уақыты аралығындағы жылдамдық векторы -ның өсімшесі Δ -ны геометриялық жолмен табу үшін, траекторияның M нүктесінде жылдамдықтар параллелограмын құрамыз. Осы параллелограмм диагоналін өрнектейтін қосындыдан Δ -ны табамыз:

. (2.10)

Жылдамдық өсімшесі Δ -ның сәйкес уақыт өсімшесі Δt-ға қатынасын алайық:

, (2.11)

мұндағы _орт векторын нүктенің Δt уақыт аралығындағы орташа үдеуі дейміз. Осы анықтамадан берілген уақыттағы, яғни лездік үдеудің анықтамасын алуға болады.

Нүктенің берілген уақыттағы үдеуі деп, Δt уақыт өсімшесі нөлге ұмтылғандағы орташа үдеудің ұмтылған шегін айтамыз:

, (2.12)

мұндағы Δ /Δt қатынасының Δt→0 кездегі шегі, -векторының аргумент t бойынша алынған бірінші туындысы болып табылады және оны деп белгілейміз осыны ескере отырып, (2.12) –теңдіктен мына түрдегі

(2.13)

өрнек аламыз. Жылдамдық векторының (2.5.) өрнегін ескере отырып, (2.13)-ні былай да жаза аламыз:

. (2.14)

Сонымен, берілген уақыт мезгіліндегі нүктенің үдеуі деп жылдамдық векторының уақыт бойынша алынған бірінші туындысына (2.13) немесе нүктенің радиус-векторының уақыт бойынша алынған екінші туындысына (2.14) тең болатын векторлық шаманы айтамыз.

Лездік үдеу векторы , траекторияның М нүктесіндегі жанаспа жазықтығында жатады және М нүктесінен траекторияның ойыс (ішкі) жағына қарай бағытталады. Траектория жазық қисық болса, онда оның барлық нүктесіндегі жанаспа жазықтық бірдей бір жазықтық болады. Ол қисық сызықтың өз жазықтығына дәл келеді.