3.3 Электрическое поле в однородной изотропной среде

П редположим, что имеется однородная изотропная среда с удельным сопротивлением ρ. Введем в эту среду электрод А, из которого вытекает ток силой i. Допустим, что размеры электрода А малы и электрод можно рас­сматривать как точечный, а второй электрод удален (теоретически в беско­нечность) и не оказывает влияния на электрическое поле вблизи электрода А.

Рис. 9 Электрическое поле в однородной изотропной среде.

При этих условиях линии тока, исходящие из точки А, будут прямыми, а эквипотенциальные поверхности — концентрическими сферами с центром в точке А. В пересечении с плоскостью чертежа эти сферы дают окружности с центром в точке А (рис. 9).

Определим потенциал в точке М, расположенной на расстоянии г от ис­точника тока.

Плотность j в точке М согласно формуле (7) равна:

(14)

Так как: ,

то

Зная это, потенциал в точке М можно вычислить так:

.

Так как потенциал в бесконечности равен нулю, т. е. при г = U = 0, то постоянная интегрирования С = 0. Тогда выражение потенциала в точке М, созданного точечным электродом А, через который протекает ток i, в однородной изотропной среде с удельным сопротивлением ρ примет вид:

(15)

Легко видеть, что если поменять местами точки А и М, т. е. источник тока поместить в точку М и определять потенциал в точке А, то его величина выражается тем же уравнением (15). Это положение справедливо также для неоднородной среды и находит важное практическое применение в электрическом каротаже, которое известно под названием принципа взаимности.

Кажущееся удельное сопротивление (определение удельного сопротивления однородной среды)

Для замера сопротивления пород, пересеченных скважиной, служит каротажный зонд (см. рис.1).

Наиболее распространен зонд, имеющий три электрода {N, М, А), которые присоединяют к концам кабеля и спускают в скважину. Четвертый электрод В (заземление) устанавливают на поверхности вблизи устья скважины.

Через электроды А и В, называемые токовыми, пропускают ток i, создающий электрическое поле в породе; при помощи электродов М и N называемых измерительными, измеряют разность потенциалов ∆U между двумя точками этого электрического поля.

Потенциал некоторой точки М, созданный точечным электродом А через который протекает ток i, в однородной изотропной среде с удельным сопротивлением ρ согласно формуле (15) равен:

Подставляя вместо г_M величины или , получим потенциал в точке М:

а потенциал точки N:

Если считать электроды зонда точечными, то разность потенциалов между его измерительными электродами М и N будет

где - = Тогда

(16)

По формуле (16) можно вычислить удельное сопротивление однородной среды:

(17)

где i — сила тока в питающей цепи;

∆U — разность потенциалов между точками М и N, находящимися в скважине;

—расстояния между соответствующими электродами каротажного зонда,

Все величины, входящие в правую часть формулы (17), можно измерить и таким образом определить величину удельного сопротивления среды. Нахождение этой величины и является целью электрического каротажа по методу сопротивлений.

При каротаже разность потенциалов выражается в тысячных долях вольта — милливольтах (мв), сила тока в тысячных долях ампера — милли­амперах (ма), а расстояния и в метрах (м), при этом удельное сопротивление будет выражено в омметрах {Омм).

Приведем формулу (17) к виду, в котором она обычно применяется в прак­тике электрического каротажа.

Для этого, полагая:

(18)

получим:

(19)

где К — коэффициент зонда — постоянный множитель, зависящий от расстояний , и взаимного расположения электродов;

- представляет собой сопротивление части среды, заключенной

между двумя эквипотенциальными поверхностями, проходящими через точки М и N.

Выражение (19) справедливо для вычисления удельного сопротивления ρ изотропной и однородной среды. При этом условии значение удельного сопротивления должно оставаться постоянным при любых расстояниях и . Это значение является истинным удельным сопротивлением исследуемой среды. Однако условие однородности среды в действительности никогда не выполняется.

При каротаже мы всегда имеем дело с неоднородной средой, состоящей из пластов различного удельного сопротивления и глинистого раствора, заполняющего скважину. Между тем формулу (19), справедливую только для однородной среды, применяют для среды неоднородной, а полученный результат называют кажущимся удельным сопротивлением (КС или ρ_к). Понятие кажущегося сопротивления среды можно рассматривать как истинное удельное сопротивление однородной среды, в которой при заданных расположениях электродов установки и силе питающего тока получаемая разность потенциалов ∆U такая же, что и при измерениях в изучаемой неоднородной среде.

Выше было указано, что значение удельного сопротивления при измерении в однородной среде остается постоянным при любых расстояниях и . Величина же кажущегося сопротивления зависит от расстояний и и характера расположения электродов. Поэтому кажущееся сопро­тивление пород отличается от истинного сопротивления их. Кажущееся сопротивление зависит от удельного сопротивления и мощности пластов, против которых находится каротажный зонд, от диаметра скважины и удельного сопротивления глинистого раствора, от проникновения раствора (его фильтрата) в пласт и от расположения электродов зонда (типа зонда) и его размеров.

Кажущееся удельное сопротивление, замеренное в однородной анизо­тропной среде, не зависит от типа и размеров зонда, пропорционально среднему удельному сопротивлению анизотропной среды ρ_m и зависит от коэффициента анизотропии λ_а и угла π/2 - α_└, составленного скважиной и направлением падения пластов (Угол α_└ - видимый угол падения пород. При вертикальной скважине α_└ равен истинному углу падения пород.)

Значение кажущегося сопротивления при этом определяется формулой:

(20)

Из этой формулы следует, что кажущееся сопротивление анизотропной cреды, замеренное по перпендикуляру к напластованию

ρ_к , равно удель­ному сопротивлению этой среды, замеренному в плоскости напластования ρ_||:

(21)

Если же замер произведен в плоскости напластования, то кажущееся сопротивление ρ_к|| равно среднему удельному сопротивлению этой среды

(22)

Так как коэффициент анизотропии пород больше единицы, то кажу-щееся сопротивление в направлении, перпендикулярном напластованию, меньше кажущегося сопротивления по напластованию:



Между тем известно, что истинное удельное сопротивление анизотропных пород в направлении, перпендикулярном напластованию, больше истинного удельного сопротивления по напластованию:



Такое несоответствие между значениями кажущихся сопротивлений и истинных называется парадоксом анизотропии и вызвано увеличением плотности тока вдоль напластования в направлении повышения электропроводности анизотропных (слоистых) пород.

Результаты измерения кажущегося сопротивления пород в скважине изображаются в виде кривой изменения кажущегося сопротивления (КС) вдоль ствола скважины.