4. Нестационарная теплопроводность (явный метод)

Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности базируется на представлении рассматриваемого тела как совокупности узлов. Для каждого узла записывается баланс энергии , получая в итоге алгебраическое уравнение для расчета температуры в каждом узле. Для внутренних узлов тела формирование уравнение баланса энергии основывается на законе Фурье, а для узлов, расположенных на границе твердого тела и жидкости - используется уравнение Ньютона - Рихмана. В результате применения метода конечных различий выходит n алгебраических уравнений для n узлов рассматриваемого тела.

Пример 4.1. Большая толстая плита (коэффициент теплопроводности λ = 40 Вт/(м ^. К), коэффициент температуропроводности a = 3, 10^-5 м²/с) имеет постоянную температуру Т = 473 К . Поверхность плиты внезапно погружают в жидкость с температурой Т_ж = 373 К. Коэффициент конвективной теплоотдачи к жидкости от поверхности плиты - α = 500 Вт/м2 К .

Найти изменение температуры плиты на протяжении первой минуты после погружения в жидкость.

Решение. Плита разделяем на элементарные объемы с узлами, как показано на рис. 4.1. Нумерация узлов начинается от поверхности тела, граничащего с окружающей средой.

Рис. 4.1. Размещение элементарных объемов в рассматриваемом твердом теле.

Если учесть теплоемкость граничного с окружающей средой узла, то температура T(τ+Δτ) в этом граничном узле определяется соотношением

Т₁^τ+Δτ = 2Fo [ Т₂^τ + Bi ^. Т_ж ] + [ 1 - 2Fo - 2Fo ^. Bi] Т₁^τ.

Все другие узлы являются внутренними. Поэтому для произвольного узла внутри твердого тела , обозначенного индексом i , применимое следующее соотношение

Т_i^τ+Δτ = Fo [ Т_i-1^τ + Т_i+1^τ ] + [ 1 - 2Fo] Т_i ^τ .

Критерий стойкости для предельного узла Fo( 1+ Bі) ≤ 0,5. И для внут-ренних узлов Fo ≤ 0,5.

Выберем удовлетворяющим этим критериям значения Fo = a ^.Δτ /(Δх)²= 0,25 и Bi= α Δх/ λ = 0,5. Поскольку число Био уже определено, то величина шага между узлами в твердом теле Δх = λ / 2 α = 40/2 ^. 500 = 0,04 м.

Шаг по времени ограничивается выбранной величиной числа Фурье

Δτ = (Δх)^{2/4 .} a = (0,04)^2/4 (3 ^, 10^-5)= 13,33 c.

Теперь проведем расчет температур тела по неявному методу в узлах, которые отстоят один от другого на 0,04 м в моменты времени, чередующиеся с интервалом 13,33 с. Для решения задачи в пакете программ Mathcad введем следующие обозначения:

Расчет изменения температур при τ = Δτ:

Расчет изменения температур при τ = 2Δτ:

Р асчет изменения температур при τ = 3Δτ:

Расчет изменения температур при τ = 4Δτ:

Расчет изменения температур при τ = 5Δτ:

Построим графики изменения температуры

в каждом узле рассматриваемого твердого

тела с течением времени. Для этого сведем

все результаты расчетов в матрицу.

На рис. 4.2. представлены графики изменения температуры в узлах рассматриваемого тела. Для получения болем плавных кривых не обходимо рассматриваемое твердое тело разить большее количество количество элементарных объемов.

Рис. 4.2. График изменения температуры внутри

твердого тела с течением времени.

ЗАДАЧИ

Задача 4.1. Поверхность толстой плиты имеет начальную температуру Т₀ = 345 К. За счет радиационного обогрева поверхность приобретает быстро при находит температуру Т₀₁ = Т₀₁ , К.. Найти время, за которое температура слоя тела на глубине 0,05 м достигнет значение Т01 + 15 К. Построить графики изменения температуры по глубине тела для найденного из условия стойкости шага по временем Δτ. Исходные данные приведенные в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Вариант	1	2	3	4	5	6
Т01, К	365	370	375	380	385	390
а, м2/с	2 .10-6	3 . 10-6	4 . 10-6	5 . 10-6	7 . 10-6	8 , 10-6
λ = Вт/(м .К)	10	12	14	16	18	20

Задача 4.2. Детали из алюминия (диаметром d, длиной l, а = 97,5 м²/с и λ = 240 Вт/(м ^. К)) нужно нагреть к температуре Т = 473 К. Начальная темпе-ратура детали - Т₀ , К. Температура внутри камеры нагревания Т_ж = 673 К, коэффициент теплоотдачи от среды, которая греет, к детали - α =100 Вт/(м².К). Детали двигаются по конвейеру внутри камеры нагревания. Найти необхо-димую длину камеры, если скорость движения равняется w = w, м/с. Исходные данные для решения задачи приведенные в табл. 4.2.

Таблица 4.2.

№	d, м	L, м	w, м/с
1	0,005	0,100	0,05	0,10	0,15	0,20
2	0,008	0,090	0,05	0,10	0,15	0,20
3	0,010	0,090	0,04	0,08	0,12	0,16
4	0,012	0,080	0,04	0,08	0,12	0,16
5	0,014	0,070	0,03	0,06	0,09	0,12
6	0,016	0,070	0,03	0,06	0,09	0,12

Задача 4.3. Длинный прямоугольный стрежень (λ = 40 Вт(/м ^. К) и а = 3,10^-5 м²/с) имеет в начальный период времени постоянную температуру по всему объему - Т₀ = 433 К . Внезапно температура неизолированных поверхностей снижается к значению T₀₁, K . Найти значения температуры тела в точках согласно рисунку через 60, 120, 180, 240 и 300 с. Исходные данные приведенные в табл. 4.3.

Таблица 4.3.

T01 l1 l2	№	l1, м	l2, м	T01, K
	1	0,10	0,10	333
	2	0,12	0,14	343
	3	0,14	0,10	348
	4	0,16	0,16	360
	5	0,18	0,18	335
	6	0,18	0,18	303

Задача 4.4. Длинный цилиндр из нержавеющий стали (диаметром d = d, м имеет в начальный период времени температуру Т₀ = Т₀, K. Цилиндр изоли-рован по периферии. С одного торца есть подведение тепла, и температура этой торцовой поверхности равняется Т_т = Т_т, К. Найти значения температур в точках тела цилиндра, расположенных на расстоянии 0,01; 0,02; 0,04; 0,06 и 0,10 м от места подведения тепла, через периоды времени τ (табл. 4.4).

Таблица 4.4.

q Т т Т0	№	d, м	τ, с			Т0, K	Тт , К
	1	0,020	60	80	120	293	373
	2	0,025	80	120	160	295	413
	3	0,030	90	130	170	303	403
	4	0,035	100	140	180	298	423
	5	0,040	110	150	190	305	473
	6	0,045	120	160	200	300	463