Классификация систем массового обслуживания

Если исследованные или заданные потоки входных требований, механизм (число каналов обслуживания, время обслуживания и др.) и дисциплина обслуживания, то это дает базис для построения математической модели системы.

В задачах анализу систем массового обслуживания в качестве основных показателей функционирования системы могут быть использованы:

1. вероятность простоя P₀ канала обслуживания;

2. вероятность того, что в системе находятся n требований (вероятность P_n):

3. среднее число требований, которые находятся в системе (N_сист = );

4. среднее число требований, которые находятся в очереди

, где

N_k – число каналов обслуживания.

5. Среднее время ожидания в очереди T_очер. Для разомкнутой системы

, где

- это интенсивность поступления требований в систему.

Для замкнутой системы:

, где

m – число требований, которые требуют обслуживания.

6. среднее время ожидания требований в системе T_сист;

7. среднее число свободных каналов обслуживания:

8. среднее число занятых каналов обслуживания:

Задачи анализу одноканальных систем массового обслуживания

Как видно из приведенной классификации систем массового обслуживания, есть большое количество разновидностей. Ограничимся системами массового обслуживания которые наиболее часто встречаются.

• детерминированные одноканальные

• одноканальные разомкнутые с простейшим потоком поступления требований к системе

• одноканальные замкнутые (поток требований Пуассоновський) – с ожиданием.

Все эти системы могут быть исследованы аналитическими методами, построенными на основе представления процесса формирование системы как марковського процесса с непрерывном временем и детерминированным состоянием.

Задача анализу детерминированной системы

Постановка задачи: пусть исследуется производственный процесс, в котором поступление требований происходит через равные промежутки времени.

Таким образом:

то есть интенсивность потока поступление требований , которая равняется также является const, и обслуживание проводится через равные промежутки времени

(интенсивность обслуживания также является const)

Есть один канал обслуживания, и считается, что

(иначе очередь будет бесконечно возрастать)

Считаем также, что на начало обслуживания в системе уже находится n требований, и необходимо определить, через какое время очередь исчезнет:

- называется коэффициентом использования.

Очередь будет бесконечно возрастать, если , если он равняется единице, то очередь будет иметь постоянную длину. Схематически работа рассматриваемой системы массового обслуживания представляется следующим образом:

в ходной поток требований очередь канал исходный поток требований

обслуживания

Пока обслуживается очередь с n требований, на протяжении времени снова поступает на обслуживание первых требований

Аналогично, пока будут обслуживаться требований на протяжении времени дополнительно поступят на обслуживание требований.

это происходит до тех пор, пока не будет выполняться равенство , после чего очередь исчезнет.

Весь процесс функционирования системы массового обслуживания можно представить в аналитическом виде.

Время, через которое очередь исчезнет, можно даже представить в виде: