1. Вибір між двома гіпотезами. Критерій Неймана-Пірсона

За допомогою ймовірностей і помилок першого і другого роду можна порівняти між собою і розв’язати, задачу про найкращий критерій. При цьому фіксуються будь-яке мале значення ймовірності помилки першого роду (тобто рівень значущості критерію) і шукають критерій з рівнем значущості і з найбільшою потужністю (або, що те й саме, з найменшою ймовірністю помилки другого роду). Такий критерій, якщо він існує, називають найпотужнішим, або оптимальним, критерієм.

Оптимальним є так званий критерій Неймана-Пірсона, який полягає в наступному.

Для перевірки простої гіпотези якій відповідає розподіл , при альтернативній гіпотезі якій відповідає розподіл , критична функція оптимального критерію Неймана-Пірсона при заданому рівні значущості визначається з умови:

де і щільності розподілів і .

Константа критерію Неймана-Пірсона визначається випадковою величиною при гіпотезі має розподіл , за нерівністю:

.

Якщо ймовірності не залежать від альтернативних значень параметру , то критерій Неймана-Пірсона перевірки простої гіпотези є рівномірно найпотужнішим по відношенню до всіх таких альтернатив.

Критерії, побудовані на використанні розподілу статистик , називають критеріями відношення правдоподібності.

Практично застосування критерію Неймана-Пірсона полягає в перевірці нерівності для даних результатів спостережень.

Нехай вибірка із генеральної сукупності - щільності розподілів вибірки відповідно при основній і альтернативній гіпотезах. Тоді критичну множину оптимального критерію Неймана-Пірсона слід шукати серед множин виду: тоді і тільки тоді, коли

(4.1)

при деякому числі .

У випадку виконання нерівності (4.1) гіпотезу приймають.

Приклад 4.1

Нехай - вибірка із нормально розподіленої генеральної сукупності з параметрами . Розглянемо просту гіпотезу при відомому значенні параметру при альтернативній гіпотезі з тим самим значенням параметру .

В цьому випадку критерій Неймана-Пірсона визначається нерівністю

,

або рівносильною нерівністю

Після логарифмування цієї нерівності і елементарних перетворень отримаємо нерівність:

,

яка еквівалентна нерівності , при якому , яке залежить від і і визначається з умови

.

Критерій простої гіпотези є рівномірно найпотужнішим для класу альтернативних гіпотез . Дійсно, при гіпотезі випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами . Тоді помилки першого і другого роду дорівнюють

(4.2)

(4.3)

Визначимо як розв’язок рівняння

В силу симетрії щільності нормального розподілу з параметрами 0; 1 Тоді із (4.2) і (4.3) випливає

,

або

, (4.4) . (4.5)

Отже, критерій з константою , визначеною рівністю (4.4), дає при заданому значенні , найменшу ймовірність помилки другого роду. 

Зауваження

1. Зауважимо, що із рівностей (4.4) і (4.5) можна визначити об’єм вибірки , при якому оптимальний критерій має ймовірності помилок першого і другого родів і відповідно:

2. Аналогічно для класу альтернатив рівномірно найпотужніший критерій простої гіпотези визначається нерівністю .

Якщо множина альтернативних значень параметру містить точки як зліва так і справа від , то рівномірно найпотужнішого критерію не існує.

3. Для простої гіпотези при невідомому значенні параметру при альтернативній гіпотезі критерій Неймана-Пірсона визначається критичною областю

4. Для простої гіпотези при альтернативній гіпотезі рівномірно найпотужніший критерій визначається нерівністю

.