2. Критерій Кочрена (вибірки однакових об’ємів).
Нехай із генеральних сукупностей розподілених нормально, зроблено незалежних вибірок однакового об’єму , за якими знайдено виправлені вибіркові дисперсії з однаковим числом ступенів вільності . Для перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій, оскільки вибірки однакових об’ємів, можна застосувати критерій Фішера-Снедекора порівнявши найбільшу і найменшу дисперсії. Якщо різниця між ними незначна, то незначна різниця і між іншими дисперсіями. Але при цьому не враховується інформація решти вибірок, крім тих, дисперсії яких найбільша і найменша.
Можна також застосувати і критерій Бартлетта, але його розподіл наближений.
Тому застосовують критерій Кочрена – відношення максимальної виправленої дисперсії до суми всіх виправлених дисперсій
.
Розподіл цієї випадкової величини залежить тільки від числа ступенів вільності і кількості вибірок .
Критична
область – правостороння. Критичну точку
знаходять за таблицею критичних точок
Кочрена (таблиця № 10 додатку 2).
При заданому рівні значущості перевірку нульової гіпотези про однорідність дисперсій нормально розподілених генеральних сукупностей проводять за схемою :
1.
Одним із методів знаходять за вибірками
виправлені дисперсії
.
2 .Обчислюють спостережуване значення критерію
.
3.
З таблиці критичних точок розподілу
Кочрена (таблиця № 10 додатку 2) за рівнем
значущості
за числами
-ступенів
вільності і
-числом
вибірок знаходять критичну точку
правосторонньої критичної області.
Якщо
- нульову гіпотезу приймають.
Якщо
- нульову гіпотезу відхиляють.
Зауваження. При умові однорідності дисперсій за оцінку генеральної дисперсії беруть середнє арифметичне виправлених вибіркових дисперсій.
Приклад 6.6
За трьома
незалежними вибірками однакового об’єму
,
зробленим з нормально розподілених
генеральних сукупностей, знайдено
виправлені середні квадратичні
відхилення: 0,047; 0,058; 0,095. При рівні
значущості
перевірити нульову гіпотезу про
однорідність дисперсій.
Знаходимо постережуване значення критерію
.
З таблиці
критичних точок Кочрена (таблиця № 8
додатку 2) за рівнем значущості
,
числом ступенів вільності
і числом вибірок
знаходимо критичну точку правосторонньої
критичної області
.
Оскільки
,
то нульову гіпотезу приймаємо.
Вправи для самостійної роботи
Точність роботи станка автомату перевіряється за дисперсією контрольованого розміру виробу, яка не може перевищувати
.
Результати вимірів 20 проб такі :
-
Контрольований розмір виробу проби
3,02
2,95
3,05
2,9
3.03
Частота
1
2
6
8
3
При рівні значущості перевірити чи станок забезпечує бажану точність.
Партія виробів приймається, якщо дисперсія контрольованого розміру не перевищує 0,1. За вибіркою об’єму
знайдемо виправлену дисперсію
.
Чи можна цю партію прийняти при рівні
значущості 0,01, якщо альтернативна
гіпотеза
?
Двома методами проведено виміри однієї фізичної величини. Отримали значення :
Чи можна
вважати при рівні значущості
,
що обидва методи забезпечують однакову
точність вимірів, в припущенні, що
результати вимірів розподілені нормально
і вибірки незалежні.
Припускається, що нова методика визначення вмісту марганцю в сталі дає менше розсіювання результатів порівняно з традиційною. Процентний вміст марганцю в 10 відливках, одержаних за традиційною методикою, і у 8 – за новою такий :
-
Традиційна методика( ):
1,22
1,15
1,17
1,21
1,26
1,6
1,18
1,22
1,20
1,16
Нова методика ( ):
1,22
1,23
1,18
1,17
1,15
1,19
1,16
1,17
Чи є підстави вважати, що нова методика визначення вмісту марганцю має менше розсіяння порівняно з традиційною ?
Потрібно порівняти три способи обробки виробів. Першим способом оброблено 15 ; другим – 20 ; третім – 25 виробів. За відхиленням від заданого контрольованого розміру знайдено виправлені вибіркові дисперсії відповідно : 0,021 ; 0,030 ; 0,06. Перевірити гіпотезу про однорідність дисперсій при рівні значущості .
На кожному з трьох фасувальних автоматів, налаштованих на зважування однієї ваги, зважили по 10 проб, а потім ці проби зважили на точних вагах і знайшли за отриманими відхиленнями виправлені дисперсії : 0,049 ; 0,066 ; 0,085. Чи можна при рівні значущості вважати, що автомати забезпечують однакову точність зважування ? (Припускається, що відхилення ваг розподілені нормально).