1.2. Основные свойства бесконечно малых:

1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых слагаемых есть величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

Если существуют и то

1. Предел алгебраической суммы определенного числа переменных равен сумме пределов этих переменных

2.Предел произведения равен произведению пределов этих переменных.

3.Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля.

(при )

4.Предел постоянной равен самой постоянной.

5.Постоянный множитель можно выносить за знак предела

1.3. Методы вычисления пределов

1. Вычисление предела функции непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражении функции.

Если к данной функции, предел которой находится при стремлении аргумента к некоторому предельному значению, применимы теоремы о пределах, то вычисление предела сводится к подстановке этого предельного значения в функцию.

ПРИМЕР 1.

Применив последовательно теоремы о пределах получим:

2. Вычисление предела функции, когда предел делителя равен нулю.

ПРИМЕР 2.

Предел делителя равен нулю : Теорему о пределе частного применить нельзя, т.к. деление на нуль невозможно. Если , то 4x-8 есть величина бесконечно малая, а величина ей обратная бесконечно большая. Следовательно, при произведение есть величина бесконечно большая, т.е

3.Раскрытие неопределенности

ПРИМЕР 3.

Предел числителя и знаменателя равен нулю. Вычислить предел функции непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения нельзя, так как при имеем отношение двух бесконечно малых величин (отношение не имеет смысла).

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. По определению предела функции аргумент x стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения, поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю.

Имеем:

4. Вычисление предела функции при

ПРИМЕР 4. Вычислить

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени получаем

.

Т.к. при каждая из дробей бесконечно малые величины и их пределы равны нулю. Рассмотрим случай, когда при уменьшаемое и вычитаемое есть бесконечно большие величины.

ПРИМЕР 5.

1.4. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Для сравнения между собой двух бесконечно малых и находится предел их отношения. Если при этом окажется, что

1) , то есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ;

2) то есть бесконечно малая низшего порядка малости по сравнению с ;

3) a, (а-постоянное, а ), то есть бесконечно малая того же порядка малости, что и ;

4) то и - эквивалентные бесконечно малые.

При вычислении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую (или только одну) из них заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

ПРИМЕР 6.

где - бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с x.

ПРИМЕР 7. Вычислить предел используя свойство первого замечательного предела

Умножим числитель и знаменатель на 3. Имеем :

где sin3x – бесконечно малая того же порядка малости, что и x.

ПРИМЕР 8. Вычислить предел

Воспользуемся вторым замечательным пределом, для этого выполним следующие преобразования: