Различные составы наборов длины n из элементов k‑множества называют также сочетаниями с повторениями из элементов по . Их число обозначают .
Итак, справедлива
Т е о р е м а 3. Число всех сочетаниями с повторениями из элементов по вычисляется по формуле
= . (4)
Пример
3. Для
множества
всех букв, входящих в слово «Математика»,
число различных сочетаний с повторениями
длины 10 равно
=
.
Вопросы для самоконтроля
1.
Дать определение перестановки, сочетания
и размещения без повторений. Вывести
формулы для нахождения
.
2. Сформулировать основные свойства чисел и установить их связь с треугольником Паскаля и биномом Ньютона.
3. Решить задачи.
а) Сколько можно составить трехзначных чисел, если в каждом трехзначном числе любая цифра встречается только один раз?
б) Сколькими способами можно поставить на полке 10 различных книг, так чтобы выбранная книга стояла первой?
в) Сколькими способами можно сложить 6 различных книг в две сумки (порядок не имеет значения)?
4. Записать формулу исключений и включений для следующей задачи.
Часть жителей одного города умеют говорить только по-русски, часть только по-узбекски, а часть умеют говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85% жителей, по-русски – 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?
5. Записать определение перестановок, сочетаний, и размещений с повторениями. Вывести соответствующие формулы.
6. Решить задачи:
а) Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта?
б) Сколько нечетных трехзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6?
в) Сколькими способами можно раскрасить трехполосный флаг, имея красный, белый и синий карандаши?
7. В чем суть принципа Дирихле? При решении каких комбинаторных задач он применяется?