Разработка в среде Visual Basic программы численного решения интеграла

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Приобретение навыков алгоритмизации и программирования численных методов.

2. Приобретение навыков создания экранных форм Visual Basic и создания на них различных элементов управления.

3. Приобретение навыков создания модулей и объявления глобальных переменных.

4. Приобретение навыков загрузки одних экранных форм с других.

5. Приобретение навыков создания панели инструментов (ToolBar).

6. Приобретение навыков работы с элементом установки значений с диапазона (SLIDEr).

7. Приобретение навыков работы с элементом управления (UpDown).

8. Реализация алгоритма вычислительного процесса на языке Visual Basic.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Исходные данные и постановка задачи.

2. Текст кода на языке Visual Basic.

3. Подробное описание последовательности действий при написании программы.

4. Результаты расчета.

5. Блок-схема алгоритма программы.

Внешний вид готового проекта:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Задачи вычисления интегралов возникают во многих областях прикладной математики и инженерных расчетах. Иногда удается найти аналитические формулы, т.е. выразить неопределенный интеграл в виде комбинации алгебраических и трансцендентных функций, после чего вычисляется значение определенного интеграла путем подстановки в формулы пределов интегрирования. Но во многих случаях аналитическую формулу для определения интеграла найти невозможно или она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. В таких случаях применяются различные методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона) и др.

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади, ограниченной функцией (х), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b.

Метод прямоугольников

Если диапазон интегрирования (отрезок [a,b]) разделить на n равных частей, из каждой точки деления провести ординаты до пересечения с интегральной кривой и построить прямоугольники, то площадь под интегральной кривой приближенно можно вычислить как сумму площадей прямоугольников, одна из сторон которых - шаг , а вторая - значение подинтегральной функции в точке деления. Если для определения площади каждого прямоугольника принимаются ординаты функций, соответствующие левым концам отрезков деления, то значение интеграла приближенно представляется площадью ступенчатой фигуры и выражается формулой левых прямоугольников:

.

Если для определения площадей прямоугольников используются ординаты функции, соответствующие правым концам отрезков деления, то значение интеграла приближенно будет представлено площадью ступенчатой фигуры, ограниченной сверху пунктирной линией и выражаться формулой правых прямоугольников:

.

Для формулы правых прямоугольников в блок-схеме (и, соответственно, в программе) достаточно изменить два оператора: вместо Х=А записать Х=А+Н, а вместо X < B записать X  B.

Метод трапеций

Если точки разбиения интегральной кривой соединить стягивающимися хордами или провести в каждой точке касательные к кривой, то площадь под интегральной кривой может быть вычислена как сумма площадей прямоугольных трапеций, основаниями которых будут соседние ординаты точек деления (значения функции в этих точках), а высота каждой трапеции - это шаг разбиения . Ломаная линия из хорд или касательных гораздо ближе аппроксимирует интегральную кривую, поэтому заданной точности вычислений можно добиться при меньшем числе разбиений. Формула трапеций имеет вид:

.

Метод парабол (метод Симпсона)

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подинтегральную функцию у = f(х) на интервале интегрирования заменять участками квадратичной функции, принимающей в 3-х соседних точках разбиения значения у_i-1=f(x_i-1), y_i = f(x_i), y_i+1 = f(x_i+1). Общая формула Симпсона для вычисления определенных интегралов имеет вид:

.

Число разбиений интервала интегрирования в этом случае должно быть 2n и шаг разбиения равен: . Особенность программирования этой формулы состоит в том, что значения функции в нечетных точках разбиения и в четных точках разбиения надо суммировать отдельно, затем умножать первую сумму на 4, вторую - на 2 и складывать со значениями функции на концах интервала интегрирования; умножая результат на h/3, получим искомый интеграл.

Для вычисления значения интеграла с заданной степенью точности необходимо первоначально принять некоторое произвольное количество разбиений участка интегрирования, например, n = 5 и вести расчет интеграла сначала при этом количестве разбиений, а затем при удвоенном, т.е. n = 10, затем при n = 20 и т.д. до тех пор, пока разница между двумя соседними значениями интегралов не станет меньше или равной заданной точности: . Пока заданная точность не достигнута, последовательное удвоение числа разбиений (и, следовательно, уменьшение шага вдвое) будет продолжаться.

Варианты заданий

Вариант	Вычислить с точностью до e = 110-6	Метод
1		Трапеций
2		Симпсона
3		Трапеций
4		Левых прямоугольников
5		Трапеций
6		Правых прямоугольников
7		Правых прямоугольников
8	;	Симпсона
9		Левых прямоугольников
10		Правых прямоугольников
11		Трапеций
12		Левых прямоугольников
13		Трапеций
14		Симпсона
15		Трапеций
16		Трапеций

Вариант	Вычислить с точностью до e = 110-6	Метод
17		Трапеций
18		Правых прямоугольников
19		Симпсона
20		Трапеций
21		Левых прямоугольников
22		Симпсона
23		Трапеций
24		Правых прямоугольников
25		Левых прямоугольников
26		Симпсона
27		Трапеций
28		Левых прямоугольников
29		Трапеций
30		Правых прямоугольников

Индивидуальное ЗАДАНИЕ №8