Определенный интеграл и его приложения
Если
— некоторая первообразная функции
,
непрерывной на отрезке
,
то определенный интеграл вычисляется
по формуле Ньютона – Лейбница:
.
Пример.
.
Решение.
.
Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах.
В
декартовой системе координат элементарной
фигурой является криволинейная
трапеция
(рис.1), ограниченная линиями
,
,
,
,
площадь которой вычисляется по формуле:
Рис.1
Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле:
Рис.2
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
Решение. Построим чертеж к задаче (рис. 3).
— это парабола
(ветви направлены вверх, вершина находится
в точке с координатами (0;-2));
— прямая, проходящая
через начало координат.
Найдем
точки пересечения кривых. Для этого
решим систему уравнений:
.
Отсюда
Площадь фигуры вычислим по формуле:
(кв.ед.).
Рис. 3