Вращательное движение твердого тела

1. Угол поворота  , измеряемый в радианах связан с числом полных оборотов N соотношением

.

2. Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равно производной от угла по времени

.

Вектор  направлен вдоль оси вращения и связан с направлением вращения правилом «буравчика».

3. Угловая скорость связана с линейной скоростью вращающейся точки v соотношением

v =  r,

где r – расстояние от оси вращения до заданной точки тела.

4. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и равно производной от угловой скорости по времени

.

5. Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением вращающейся точки а_τ соотношением

.

6. Нормальное ускорение вращающейся точки а_n связано с угловой скоростью ω

.

7. Момент силы F, действующий на тело

,

где r – радиус, проведенный от оси вращения в точку приложения силы, α  – угол между направлениями радиуса и вектора силы.

8. Основной закон динамики для вращательного движения

,

где - результирующий момент сил, действующих на тело, J – момент инерции тела.

9. Момент инерции тела J характеризует инерционные свойства тела, имеющего ось вращения, и зависит от размеров и формы тела, его массы и расположения оси вращения относительно центра масс тела.

Момент инерции системы N материальных точек равен

,

где r_i – модуль радиуса-вектора i-й материальной точки, имеющей массу m_i . Для сплошных тел момент инерции определяется как интеграл

,

где  – плотность тела; V – его объем.

Формулы для нахождения моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл.

Форма тела	Положение оси вращения	Момент инерции J
Материальная точка массой m	Проходит на расстоянии R от точки	mR2
Однородный стержень длиной l и массой m	Проходит через середину стержня перпендикулярно его оси
Однородный диск (сплошной цилиндр) радиусом R и массой m	Совпадает с осью цилиндра
Однородный тонкостенный полый цилиндр (труба, обруч) радиусом R и массой m	Совпадает с осью цилиндра
Однородный шар радиусом R и массой m	Проходит через центр шара

Если ось вращения не совпадает с центром масс тела, а проходит параллельно ей на расстоянии b, то момент инерции тела J’ вычисляется по теореме Штейнера

,

где J – момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс тела.

10. Работа A при вращательном движении определяется соотношением

Если момент сил не изменяется во времени , то

,

где Δφ – угол поворота.

11. Мощность при вращательном движении

.

12. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна

.

13. Моментом импульса вращающегося твердого тела называется векторная величина L, равная произведению момента инерции тела относительно оси вращения на его угловую скорость

L = J.

14. Для замкнутой вращающейся системы справедлив закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса системы есть величина постоянная

.

Пример

Шар массой m = 5 кг и радиусом r = 15 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения имеет вид . Найти результирующий момент сил в момент времени t = 2 с.

Решение:

Согласно основному закону динамики для вращательного движения результирующий момент сил .

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр  кг·м².

Угловое ускорение – производная от угловой скорости по времени, а угловая скорость – производная от ускорения по времени. Тогда

и .

В момент времени t = 2 с угловое ускорение  с^-1.

Результирующий момент  Н·м.

Результирующий момент сил получился отрицательным. Это говорит о том, что под действием такого момента сил тело замедляет вращение.