1.3. Понятие картографической проекции

Картографическая проекция — математический способ построе­ния на плоскости картографической сетки (параллелей и меридианов), на основе которой на карте изображают поверхность земного шара. Сферические поверхности нельзя развернуть на плоскости без складок и разрывов, поэтому на картах неизбежны искажения длин, углов и площадей.

По характеру искажений, возникающих при изображении поверхности Земли на плоскости, картографические проекции подразделятся на равноугольные, равновеликие, равнопромежуточные и произвольные. Выбор той или иной проекции зависит от назначения, содержания, а также от размеров, конфигурации и географического положения картографируемой территории.

В равноугольных проекциях сохраняется равенство углов между направлениями на карте и на местности, но искажаются размеры площадей (при переходе от одной точки к другой масштабы изменяются).

В равновеликих проекциях сохраняется пропорциональность пло­щадей на карте соответствующим площадям на земном эллипсоиде, но искажается подобие фигур, то есть отсутствует равноугольность.

В равнопромежуточных проекциях сохраняется постоянство масштаба по какому-либо направлению (параллели или меридианы изображаются без искажений).

В произвольных проекциях все искажения на карте распределяются равномерно (ни равноугольность, ни равновеликость не соблюдены).

По виду изображения на плоскости картографической сетки (параллелей и меридианов) различают цилиндрические, конические, азимутальные и другие проекции. Причём в пределах каждой из этих групп могут быть разные по характеру искажений проекции (равноугольные, равновеликие и т. д.).

В азимутальных проекциях параллели изображаются концентри­ческими окружностями, а меридианы — прямыми линиями, выходящими из центра полюса (рис. 1). Сетка меридианов и параллелей этих проекций проектируется на плоскость, касательную к шару в одном из полюсов или секущую по какой-либо параллели. Азимутальные проекции применяются для построения карт на тер­ритории, имеющие округлую форму, и аэронавигационных карт.

В конических проекциях параллели изображаются дугами кон­центрических окружностей, а меридианы — их радиусами (рис. 2). Угол между меридианами пропорционален соответствующему углу в натуре. Проекции применяются для карт территорий, вытянутых вдоль параллелей, аэронавигационных и обзорных карт.

В цилиндрических проекциях параллели изображаются параллельными прямыми, а меридианы — равноотстоящими прямыми, перпендикулярными к параллелям. Угол между меридианами пропорционален соответствующему углу в натуре. Проекции применяются для карт территорий, вытянутых вдоль большого круга, морских и аэронавигационных карт.

Геометрическая сущность конических (цилиндрических) проекций заключается в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на боковую поверхность конуса (цилиндра) с последующим развёртыванием этих поверхностей в плоскость.

И скажения на топографических картах должны быть настолько малы, чтобы все расчёты, проводимые по ним, не требовали введения соответствующих поправок за проекцию. Это приводит к необходимости делить большую территорию на участки (зоны, трапеции), которые затем изображаются в одной и той же проекции. Начало проекции или её постоянные выбираются так, чтобы получить наилучшее изображение каждого из участков, размеры которых зависят от масштаба карты.

Рис. 3

Представим себе, что на поверхности земного эллипсоида проведены параллели и меридианы через определённые промежутки (рис. 3). Совокупность указанных параллелей и меридианов образует на поверхности земного эллипсоида градусную сеть, которая называется географической сеткой.

Параллели и меридианы географической сетки делят поверхность земного эллипсоида на систему сфероидических трапеций. Каждая из них с севера и юга ограничена дугами смежных параллелей, а с запада и востока — дугами смежных меридианов.

Дуги параллелей служат основаниями трапеций, а дуги меридианов — боковыми их сторонами. Каждую трапецию по определённым правилам проектируют на плоскость. При этом переходной поверхностью может быть цилиндр, конус и др. В результате образуется многогранник.

Линейная величина оснований трапеций уменьшается, начиная от экватора, к полюсам, а величина боковых сторон, начиная от экватора, увеличивается к полюсам, но является одинаковой в трапециях, заключённых между смежными параллелями географической сетки.

Изменения линейных величин дуг параллелей и меридианов, вы­численных по элементам эллипсоида Красовского, приведены в табл. 2.

Построенная на плоскости сеть меридианов и параллелей называется картографической сеткой. Она является основой для нанесения на карту всех топографических элементов и определяет положение на земном эллипсоиде каждой отдельной точки и местности в целом, а также служит для учёта искажений в изображении последней.

Исключительная ценность картографической сетки определяется географической сущностью меридианов и параллелей: первые идут с севера на юг, а вторые — с востока на запад. Эти направления могут быть определены на местности и служат для ориентирования при работе с картой в поле.

При создании карт обширной территории размеры трапеций устанавливают так, чтобы искажения в изображении каждой из них практически были неощутимыми. В силу этого масштаб карт считается постоянной величиной.

Подробность топографических карт и постоянный характер их масштабов представляют ценнейшие качества. Так, увеличение масштаба, а следовательно, и подробности этих карт теоретически не ограничены и связаны лишь с уменьшением размера трапеций географической сетки, которое необходимо для того, чтобы искажения в изображении отдельной трапеции были меньше предельной точности масштаба карты.

Вместе с тем топографические карты не дают сплошного изображения всей земной поверхности и значительных её частей.

Например, соединяя трапеции на плоскости по параллелям, получим разрывы по меридианам. Если же трапеции соединить на плоскости по меридианам, то получатся разрывы по параллелям. Размер разрывов увеличивается по мере удаления от начальной трапеции.

При соединении на плоскости не более девяти трапеций разрывы будут настолько малы, что ими можно пренебречь в практической работе. Следовательно, топографические карты могут быть использованы для обзора лишь такой части земной поверхности, площадь которой не превышает девяти трапеций.

В отличие от топографических карт обзорные карты дают возможность для изображения всей земной поверхности или значительных её частей в каком угодно уменьшении. В Российской Федерации и ряде других стран топографические карты масштабов 1:25000—1:1000000 создаются в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса, вычисленной для шестиградусной зоны по элементам эллипсоида Красовского.

Чтобы свести неизбежные искажения картографической проекции к минимуму, не превышающему погрешности графических построений на картах (0,1 мм), поверхность земного эллипсоида делят меридианами, отстоящими друг от друга на 6°. Таким образом, поверхность земного эллипсоида оказывается разделённой с севера на юг на 60 равных зон. Счёт зон начинается от Гринвичского меридиана, принятого за начальный, и ведётся к востоку от 1 до 60 (рис. 4).

В проекции Гаусса поверхность земного эллипсоида проектируется на боковую поверхность цилиндра, касающегося некоторого меридиана (рис. 5). Проектируя последовательно каждую зону на боковую поверхность цилиндра так, чтобы их осевые меридианы являлись меридианами касания с поверхностью цилиндра, можно поверхность эллипсоида развернуть в плоскость.

В проекции Гаусса искажения углов не превышают 3—4', осевой меридиан каждой зоны изображается прямой линией, перпендикулярной к экватору, все остальные меридианы имеют вид дуг, сходящихся в точках полюсов. Параллели изображаются линиями, пересекающими меридианы под прямыми углами.

Искажение длины линии в проекции Гаусса возрастает к западу и востоку от осевого меридиана. Если же линия расположена на осевом меридиане, то её длина не искажается. Наибольшие искажения получаются на краях зоны — до 0,001 374 длины измеряемой линии, то есть находятся в пределах величины графической точности (0,1 мм в масштабе карты).

Например, при измерении по карте масштаба 1:000000 расстояния 10 см (100 км на местности) из-за линейных и угловых искажений в проекции ошибка составит 137,4 м.

Таким образом, на топографических картах искажения расстояний при графических измерениях не обнаруживаются (их учитывают только при выполнении специальных задач, связанных с использованием больших дальностей). Углы в пределах трапеции не искажаются (очертания местных предметов на местности и карте практически подобны). Искажения направлений на листе карты масштаба 1:100 000 не превышают 40". Все листы карт любого масштаба в пределах одной зоны могут быть склеены в один блок без складок и разрывов.

Нормальная равноугольная цилиндрическая проекция разработа­на известным голландским картографом Герардом Меркатором в 1569 г. и с тех пор применяется для составления морских навигационных карт. В этой проекции поверхность Земли проектируется на цилиндр, касающийся земного шара по экватору (рис. 6). Сетка меридианов и параллелей при этом изображается в виде вза­имно перпендикулярных друг к другу прямых линий, а расстояния между меридианами пропорциональны разностям долгот.

Рис. 6 Сущность проекции Меркатора

Равноугольность и простой вид картографической сетки позволяют вести навигационную прокладку на картах с помощью транспортира, линейки и циркуля. Благодаря этим свойствам проекция Меркатора до сих пор используется для построения навигационных (морских) карт во всех странах мира.

Сущность цилиндрической проекции легко понять из следующего примера. Пусть на глобусе меридианы сделаны из упругих стальных прутьев, закреплённых у экватора и собранных в пучок у полюсов, а параллели изготовлены из резиновых нитей, связанных с меридианами в точках пересечения. На глобус надет цилиндр, радиус основания которого равен радиусу глобуса.

Ориентируем глобус в цилиндре таким образом, чтобы ось его вращения совпадала с осью цилиндра, а касание с цилиндром проходило по линии экватора. Если освободить стальные прутья у полюса, то в силу упругости меридианы выпрямятся и расположатся вдоль цилиндра, а параллели растянутся, и на любой широте длина их будет равна расстоянию на экваторе (рис. 6).

Картографическая сетка такой проекции представляет собой систему взаимно перпендикулярных прямых линий (меридианов и параллелей). При этом расстояние между меридианами везде будет одинаковым и равным длине параллели на экваторе, а расстояние между параллелями будет постепенно увеличиваться (рис. 6).

Данная проекция имеет значительные искажения площадей, особенно в высоких широтах (например, на параллели 60 искажение площадей составляет 300 %). В связи с этим для составления карт на приполюсные районы нормальная проекция Меркатора непригодна и вместо неё применяется поперечная равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора.

В поперечной проекции Меркатора поверхность Земли проектируется на цилиндр, касающийся одного из меридианов (рис. 7), а не экватора, как это имело место в нормальной проекции. Чтобы сохранить аналогию с нормальной цилиндрической проекцией, меридиан касания условились назвать квазиэкватором. Масштаб вдоль этого меридиана равен единице.

Построение изображения в поперечной проекции Меркатора производят по тем же законам, что и в нормальной. Таким образом, поперечная проекция Меркатора является равноугольной проекцией шара на цилиндр, повёрнутый на 90° относительно оси вращения Земли.

Географические меридианы и параллели будут представлять собой кривые линии. Однако кривизна эта невелика, и практически в пределах одного листа их можно считать прямыми линиями.