8 Класс

8.1. Велосипедист планировал доехать из пункта А в пункт В за 5 часов, двигаясь с постоянной скоростью. С намеченной скоростью он двигался до середины пути, а потом решил увеличить скорость на 25%. С новой скоростью он доехал до пункта В. Сколько времени занял весь путь?

Ответ: 4 часа 30 минут. Указание. См. задачу 7.1.

8.2. Агент 007 хочет зашифровать свой номер с помощью двух натуральных чисел т и п так, чтобы . Сможет ли он это сделать?

Ответ: сможет. Указание. См. задачу 7.3.

8.3. Дан параллелограмм ABCD. Точки M и N – середины сторон ВС и CD соответственно. Найдите отношение площади четырехугольника AMND к площади параллелограмма.

Ответ: . Указание. Пусть . Имеем . Далее, (т.к. MN – средняя линия в треугольнике BCD), поэтому . Тогда .

8.4. Имеется п спичек длины 1, 2, 3, …, п (см). Требуется сложить из них равносторонний треугольник. Можно ли это сделать, если а) п = 100; б) п = 99? (Спички ломать нельзя, надо использовать все спички.)

Ответ: а) нельзя; б) можно. Указание. См. задачу 7.5.

8.5. У Пети есть 4 медных советских монеты – по одной номиналом 1, 2, 3 и 5 копеек. Он узнал такой факт: эти монеты должны весить ровно столько граммов, каков их номинал. Петя хочет проверить этот факт с помощью чашечных весов. Сможет ли он это сделать, если у него есть всего одна гирька в 9 граммов?

Ответ: да, сможет. Указание. Пусть х – вес 1-копеечной монеты, у – вес 2-копеечной монеты. Если проверяемый факт верен, то (х + у) – вес 3-копеечной монеты, а (х + 2у) – вес 5-копеечной монеты. Для того, чтобы в этом убедиться, мы проделаем два взвешивания: 1) 1коп. + 2коп. = 3коп. (?); 2) 2коп. + 3коп. = 5коп. (?). Если хотя бы одно из этих равенств не выполняется (весы не в равновесии), то проверяемый факт неверен. Если равенства выполнились, проверим, проведя еще два взвешивания, следующие равенства: 1коп. + 3коп.+ 5коп. = 9 гр. (?) и 2коп. + 3 коп. + 5коп. = 1коп. + 9 гр. (?). Если хотя бы одно из этих равенств не выполняется, то проверяемый факт неверен. Если же оба равенства выполняются, то имеем два уравнения: и , из которых получим х =1, у = 2, т.е. проверяемый факт верен.

9 Класс

9.1. Решите уравнение .

Ответ: нет решений. Указание. Заметим, что данное уравнение – квадратное (коэффициенты при х³ уничтожаются). У данного квадратного трехчлена вершина находится в точке с абсциссой ; в этом можно убедиться либо непосредственным подсчетом, либо следующим образом: если ввести замену t = x – 50, то квадратный трехчлен запишется в виде + , и легко видеть, что коэффициенты при нечетных степенях t уничтожаются, а значение при t = 0 (ордината вершины) положительна, причем старший коэффициент (при t²) также положителен. Значит, уравнение корней не имеет.

9.2. На доске записано несколько целых чисел. Коля заменил каждое число (стерев его) следующим образом: вместо четного числа он записал его половину, а вместо нечетного – удвоенное. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел и сумма исходных совпали, если сумма исходных чисел равнялась а) 2014; б) 2013?

Ответ: а) не могло; б) могло. Указание. Обозначим через А начальную сумму четных чисел на доске, В – сумму нечетных чисел. Тогда должно выполняться равенство . Значит, сумма на доске должна быть равна А + В = 3В=n. В случае а) при п = 2014 это приводит к противоречию с делимостью на 3. В случае б) при п = 2013 легко проверить такой пример: на доске записаны два числа а = 1342 и b = 671 = a/2.

9.3. Дан четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность. Докажите, что две окружности, вписанные в треугольники АВС и ADC, касаются диагонали АС в одной и той же точке.

Указание. Пусть AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, AC = e и пусть окружность, вписанная в треугольник АВС, касается АС в точке М. Тогда из свойства касательных получим, что . Аналогично, для окружности, вписанной в треугольник ACD и касающейся АС в точке N, получим: . Равенство AM = AN равносильно равенству a – b = d – c  a + c = b + d, а последнее равенство – это известное условие для четырехугольника, в который можно вписать окружность.

9.4. Два корабля идут по морю перпендикулярными курсами так, что оба должны пройти через фиксированную точку О (каждый – в свой момент времени. После прохождения точки О корабли, не останавливаясь, продолжат своё прямолинейное движение). Скорости кораблей одинаковы и постоянны. В полдень корабли еще не прошли точку О и находились от нее в 20 км и 15 км соответственно. Будут ли корабли далее в какой-то момент в зоне видимости друг друга, если видимость в этот день 4 км?

Ответ: да, будут. Указание. Пусть a = 20, b = 15, v – скорость кораблей. Тогда расстояние между ними через время t после полудня равно (по теореме Пифагора) . Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентoм 2v² принимает наименьшее значение в вершине . При этом значении и поэтому расстояние в момент равно (легко видеть, что к моменту t₀ один из кораблей уже прошел точку О, а другой еще нет).

9.5. У Пети есть 4 медных советских монеты – по одной номиналом 1, 2, 3 и 5 копеек. Он узнал такой факт: эти монеты должны весить ровно столько граммов, каков их номинал. Петя хочет проверить этот факт с помощью чашечных весов. Сможет ли он это сделать, если у него есть всего одна гирька в 9 граммов?

Ответ: да, сможет. Указание. См. задачу 8.5.