2. Изображение множеств

Множества принято изображать с помощью кругов Эйлера-Венна. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они не принадлежат множеству. Тот факт, что является подмножеством , с помощью кругов Эйлера-Венна изображается следующим образом (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1. Иллюстрация кругами Эйлера-Венна

3. Операции над множествами

1. Под объединением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Объединение множеств

Пример 3.1. Даны множества и . Тогда объединение этих множеств: .

2. Под пересечением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам и (рисунок 3.2.).

Рисунок 3.2. Пересечение множеств

Пример 3.2. Даны множества и . Тогда пересечение этих множеств:

3. Разностью множеств и (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов , которые не принадлежат множеству (рисунок 3.3.).

Рисунок 3.3. Разность множеств

Пример 3.3. Даны множества и . Тогда разность этих множеств: .

4. Симметрической разностью множеств и (обозначения или ) называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств, но не являются общими элементами (рисунок 3.4.).

Рисунок 3.4. Симметрическая разность множеств

Пример 3.4. Даны множества и . Тогда симметрическая разность этих множеств: .

5. Дополнением к множеству (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству , то есть дополняют его до универсального множества (рисунок 3.5.).

Рисунок 3.5. Дополнение к множеству

4. Основные свойства операций над множествами

1. Коммутативные законы (переместительные)

,

2. Ассоциативные законы (сочетательные)

,

3. Дистрибутивные законы (распределительные)

,

4. Законы поглощения

,

5. Законы идемпотентности

,

6. Свойства разности

,

,

7. Свойства дополнения ,

,

5. Примеры решения задач

1. Определить мощность множества .

Решение. Элементами данного множества являются корни квадратного уравнения , дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Тогда .

2. Доказать, что для любых множеств выполняется свойство .

Доказательство. Если , то и , но тогда и . Следовательно, и . Поэтому .

Если , то и . Следовательно, , и . Но тогда и .

Таким образом, мы доказали, что эти множества совпадают.

3. Доказать, что для любых множеств выполняется закон .

Доказательство. Пусть элемент . Следовательно, элемент входит в и, кроме того, по крайней мере, в одной из множеств или . Но тогда принадлежит хотя бы одному из множеств или , то есть .

Обратно, если , то или , следовательно, и, кроме того, или , то есть . Таким образом, .

Так как любой элемент левой части входит в правую и наоборот, то эти множества совпадают.

4. Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в Англию и Германию. Из них 5 не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 знали английский язык и 27 – немецкий. Сколько студентов владели двумя разговорными иностранными языками?

Решение. Введём обозначения множеств:

- множество студентов, не владеющих ни одним иностранным языком, ;

- множество всех студентов, ;

- множество студентов, владеющих английским языком, ;

- множество студентов, владеющих немецким языком, ;

- множество студентов, владеющих английским и немецким языками, . Найдем из уравнения или 34+27- =50-5, отсюда .