6. Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Если существует , то он единственный.
Теорема
2.
,
если
.
Теорема
3.
Если функция
при
имеет конечный предел
и существует предел функции
,
то
.
Теорема
4.
Если
в некоторой окрестности точки
и
то
и
.
Теорема
5.
Если
при некотором
функция
возрастает на
(убывает на
)
и ограничена сверху (снизу), то существует
(
).
Теорема
6.
Если для любого
существует
такое, что для произвольных
и
из интервала
,
отличных от
,
то существует
.
Теорема
7.
Для существования предела
необходимо
и достаточно, чтобы всякой последовательности
,
сходящейся к
,
отвечала последовательность
,
сходящаяся к
.
Теорема
8.
Если в некоторой окрестности точки
,
кроме, может быть, самой этой точки,
,
то и
если
эти пределы существуют и конечны.
Замечание. Эти теоремы верны и в том случае, когда не есть конечное число (иногда с очевидными изменениями формулировок.
Пример
17.
Вычислить
.
Решение.
По теореме 2
.
Пример
18.
Доказать, что последовательность
имеет предел, равный нулю.
Решение.
Заметим, что
, отсюда
.
По
теореме 4 о переходе к переделу в
неравенствах получаем
а
так как
и
,
то
.
Пример
19.
Доказать, что
Решение.
Заметим, что
,
отсюда
,
и по теореме 8 о переходе к пределу в
неравенствах
,
отсюда
.
Пример
20.
Вычислить
.
Решение.
Функция, стоящая под знаком предела, по
своей конструкции напоминает общий
член последовательности из примера 16,
и при любом
всегда можно указать такое натуральное
число
,
что
,
а следовательно, и
.
Теперь, если воспользоваться результатом решения примера 16, то
и
(если
,
то
по свойству бесконечно малых и бесконечно
больших), а тогда по теореме 4
.
Замечание. Более короткий и эффективный способ решения этого примера без использования результата решения примера 16 дает правило Лопиталя (см. §4):
.
Исходя из определения предела функции, доказать, что:
1)
3)
5)
7)
9)
11)
|
2)
4)
6)
8)
10)
12)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Исходя из определения предела числовой последовательности, доказать, что:
1)
3)
5)
7)
|
2)
4)
6)
|
;
Используя основные теоремы, вычислить следующие пределы:
1)
3)
5)
7)
|
2)
4)
6)
|
;
;
Вычислить пределы следующих последовательностей, заданных рекуррентными формулами:
1)
3)
|
2)
|
Доказать, что следующие переделы не существуют:
1)
3)
|
2)
4)
|
