3. Изгибы функции и их определение

 В целом ряде практически важных случаев анализа деталей процессов необходимо более подробно описывать изменяемость функции у=f(x) на интервале:

 

 

 

Назовем функцию выпуклой вверх (или просто - выпуклой) на интервале , если значения функции на этом интервале находятся выше отрезка, соединяющего точки и и вогнутой (или выпуклой вниз), если ее значения находятся ниже такого отрезка. Точку с, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (или наоборот) назовем точкой перегиба функции .

 

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба определяются и анализируются с помощью второй производной по следующим правилам:

 

•         Если значения второй производной на интервале отрицательны, то функция выпукла на этом интервале.

•         Если значения второй производной на интервале положительны, то функция вогнута на этом интервале.

•         Необходимым условием для точки перегиба является то, что в ней вторая производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Если при переходе через эту точку меняет знак, то это - достаточное условие перегиба.

 

Таким образом, для исследования функции на изгибы и точки перегиба, можно использовать следующую схему:

 

•         Определяем производную

•         Находим стационарные точки из анализа области определения второй производной и решения уравнения .

•         Определяем знаки второй производной в интервалах между вычисленными точками и устанавливаем наличие точек перегиба и типы изгиба функции.

 

4. Асимптоты функции

 

Следующей дополнительной характеристикой функции являются асимптоты. Это - прямые, к которым стремится график функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента. Существуют три вида асимптот, которые поясним чертежом:

 

Приведем, без доказательств, технику определения асимптот:

 

•         Вертикальные асимптоты х=а находятся из анализа области определения функции . Например, у= не определена в точке х=2, следовательно, х=2 и есть вертикальная асимптота.

•         Если существует предел или (или оба вместе), то уравнения у= b или (и) у=с определяют горизонтальные асимптоты.

•         Если существуют конечные пределы и , причем оба одновременно, то прямая у=аx+b является наклонной асимптотой графика функции .

 

5. Общая схема исследования функции и построения графиков

 В современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов:

•         Находится область определения функции и вертикальные асимптоты, если они есть.

•         Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида.

•         Из решения уравнения определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью оХ.

•         Вычисляются производные и .

•         Определяются экстремумы функции.

•         Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции.

•         Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот.

•         При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках.

•         Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.

 

Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.

 

Примеры решения задач

 

Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования на практике являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций. Приведем типовые примеры по теме.

 

1. Вычислить

Решение:

 

Ответ: 1,5.

2. Вычислить

Решение:

Ответ: функция – бесконечно малая при .

3. Вычислить

. Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.

 

Возможны два варианта:

или

Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:

.

Ответ: функция – бесконечно малая при

4. Вычислить

Здесь имеет место случай Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило Лопиталя. Имеем:

.

Так как ln A = 0, то А = е ⁰ = 1.

Ответ: 1.

5. Найти экстремумы функции у=(1 – х²)³.

Найдем производную: Стационарные точки: 6х(1 – х²)²=0, откуда х₁=0; х₂= –1; х₃=1. Используем первое достаточное условие экстремума:

 

 

Для определения знака производной внутри интервалов проще всего выбрать произвольные удобные для вычислений точки, что и показано на схеме.

 

Таким образом, заданная функция имеет один максимум в точке х = 0, возрастает при x < 0 и убывает при х > 0. Максимальное значение функции у_max = f (0) = (1 – 0²)³=1.

Ответ: у_max=1.

6. Найти экстремумы функции .

Дифференцируем:. Производная, очевидно, не существует при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две стационарные точки х₁=0 и х₂=1. Опять используем первое достаточное условие:

Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:

Таким образом, заданная функция имеет максимум при х=0 и минимум при х=1. Соответствующие экстремальные значения: у_max=f(0)=...=1, y_min= f(1)=...= –2.

Ответ: у_max=1, y_min= –2.

 

7. Найти экстремумы функции у = 3 – 2х² + х⁴

Дифференцируем: .

Стационарные точки: , откуда ; .

Используем второе достаточное условие. Вторая производная: . Таким образом:

,

т.е. является точкой максимума и

,

т.е. является точкой минимума и

.

,

т.е. является второй точкой минимума и

.

 

8. Исследовать выпуклости функции у=3х⁴ – 4х³.

Дифференцируем:

Стационарные значения для второй производной: 36х² – 24х=0, откуда х₁=0 и х₂=

Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.

 

Ординаты точек перегиба: