1. Методы прямоугольников.

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x) на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая - аппроксимирующая константа.

Рис. 1. Метод левых прямоугольников. Рис.2. Метод правых прямоугольников

Методы левых (рис. 1) и правых прямоугольников (рис. 2) имеют сравнительно высокую погрешность. Запишем выражение для интеграла на интервале [х_i, х_i+ h], полученное методом средних прямоугольников

(3)

где , R = , и оценим погрешность R. Для этого разложим подынтегральную функцию f (х) в ряд Тейлора около средней точки

(4)

в малой окрестности точки х этот ряд с высокой точностью представляет функцию f(x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции f(x) ее тейлоровское разложение (4) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

(5)

Сравнивая соотношения (3) и (5), можно записать выражение для погрешности R. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность R будет вносить первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности R_oi вычисления интеграла на интервале [x_i, x_i+1]

(6)

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале [х₀, х_n] определится путем суммирования погрешностей на каждом частич­ном интервале [x_i, x_i+1]

(7)

Формула (7) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Степень шага h, которой пропорциональна величина , называется поряд­ком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки х= ,

(8)

Интегрируя разложение (8) почленно на интервале [x_i, x_i+1], получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

(9)

На интервале [х₀, х_n] главный член погрешности интегрирования полу­чим суммированием частичных погрешностей (9)

(10)

Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый порядок; кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних прямоугольников.