Решение.

Пусть дисконтирование происходит m раз в году и задана сложная учетная ставка j. Годовая учетная ставка j называется номинальной, если в начале каждого периода, длительностью 1/m, осуществляется дисконтирование по ставке j/m. В этих обозначениях формула имеет вид:

P = F_n (1 - j / m) ^mn, где

Р – сумма, которую может получить векселедержатель до наступления срока оплаты векселя;

F_n – номинальная стоимость векселя;

j — годовая процентная ставка, которая конвертируется m раз в году (номинальная);

m — количество начислений в году;

n — количество лет.

Для нахождения суммы, которую получит векселедержатель в ячейку В9 введем формулу =В8*(1-В5/В6)^(В6*В7) (рис. 4).

Рисунок 4 – Расчет денежной суммы, которую получит векселедержатель

Ответ. Векселедержатель получит 52588,05 руб., если учтет вексель за 1,5 года до срока погашения по учетной ставке 8,6% (проценты сложные с начислением один раз в полугодие).

Задача 2.

Новый станок должен работать в течение 15 лет и обеспечивать ежемесячные сбережения в размере 5000 руб. По какой цене целесообразно приобретение станка, если ставка процента равна 10% годовых?

Решение.

Для расчета цены, по которой был приобретен станок воспользуемся стандартной финансовой функцией ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; Тип), которая возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость вклада.

Аргументами этой функции являются:

Ставка – процентная ставка за период;

Кпер – общее число периодов платежей по аннуитету;

Плт – выплата, производимая в каждый период и не меняющаяся на протяжении всего периода ренты;

Бс – требуемое значение будущей стоимости или остатка средств после последней выплаты;

Тип – число 0 или 1, обозначающее срок выплаты.

В ячейку В9 введем функцию =ПС(В6/В8;В7*В8;-В5) (рис. 5).

Рисунок 5 – Расчет цены приобретения станка

Ответ. Новый станок целесообразно приобретать по цене равной 465287,19 руб.

Задача 3.

Задана матрица последствий .

1. Найдите матрицу рисков.

2. Проведите анализ ситуации полной неопределенности, применив правила по принятию решений Вальда, Сэвиджа и Гурвица (взять равному 0,5; 0,4 и 0,3).

3. Проведите анализ ситуации частичной неопределенности при известных вероятностях того, что реальная ситуация развивается по варианту j: 0,25; 0,2; 0,3; 0,15; 0,1 (примените правила максимизации среднего ожидаемого дохода и минимизации среднего ожидаемого риска).

Q=	5	9	5	12	20
	0	20	0	17	9
	7	9	0	5	9
	5	9	5	12	12

Решение.

1. Построим матрицу рисков.

Подготовим рабочий лист Excel (рис. 6).

Рисунок 6 – Исходные данные и шаблон для решения задачи

Определим максимальный элемент в каждом столбце. Для этого воспользуемся функцией МАКС (число1; число2;...), которая возвращает наибольшее значение из списка аргументов.

В ячейку В18 введем функцию =МАКС(В14:В17) и скопируем ее в ячейки С18:F18. Получим (рис. 7): q₁ = 7; q₂ = 20; q₃ = 5; q₄ = 17; q₅ = 20.

Каждый элемент матрицы рисков определяется равенством r_ij = q_j – q_ij,

где q_j – максимальный элемент в каждом столбце; q_ij – элемент матрицы последствий.

Для вычисления элементов матрицы рисков введем зависимости:

Элемент	Ячейка	Функция для вычисления
r11	В20	=$B$18-B14
r12	С20	=$C$18-C14
r13	D20	=$D$18-D14
r14	E20	=$E$18-E14
r15	F20	=$F$18-F14

Формулы ячеек В20:F20 скопируем в соответствующие ячейки до 23-й строки. В результате получим матрицу рисков (рис.7).

Рисунок 7 – Результаты расчета матрицы рисков

Таким образом, матрица рисков имеет вид: R= .

2. Проанализируем данную ситуацию полной неопределенности, применяя три правила – рекомендации по принятию решений.

Предварительно подготовим рабочий лист (рис.8).

Рисунок 8 – Исходные данные и шаблон для решения задачи

1) Определим решение по правилу Вальда.

Проанализируем каждое решение, т.е. в каждой строке матрицы Q найдем минимальное значение с помощью функции МИН(число1; число2;...), которая возвращает наименьшее значение из списка аргументов.

В ячейку В26 введем функцию =МИН(В14:F14) и скопируем ее в ячейки В27, В28, В29. Получим (рис.9): а₁ = 5; а₂ = 0; а₃ = 0; а₄ = 5.

Среди всех чисел a_i выберем наибольшее: в ячейку В30 введем функцию =МАКС(В26:В29). Результаты представлены на рисунке 9.

Рисунок 9 – Результаты расчетов по правилу Вальда

Следовательно, а = max a_i = 5, что соответствует а₁ и а₄. Значит, правило Вальда рекомендует принять либо первое, либо четвертое решение.

2) Определим решение по правилу Сэвиджа.

В каждой строке матрицы R найдем максимальный риск b_i = max_jr_ij: в ячейку Е26 введем функцию =МАКС(В20:F20) и скопируем ее в ячейки Е27, Е28, Е29.

Получили (рис.10): b₁ = 11; b₂ = 11; b₃ = 12; b₄ = 11.

Теперь выберем наименьшее b_i: в ячейку Е30 введем функцию =МИН(Е26:Е29). Результаты представлены на рисунке 10.

Рисунок 10 - Результаты расчетов по правилу Сэвиджа

Следовательно, b = min_ib_i = 11, что соответствует b₁, b₂, b₄. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять первое, второе или четвертое решение.

3) Применим правило Гурвица.

По правилу Гурвица принимается решение i, при котором достигается максимум [λ min_j q_ij + (1-λ) max_j q_ij].

Рассмотрим различные значении λ:

1) при λ = 0,5.

В ячейку В34 введем функцию: =$В$33*МИН(В14:F14)+(1-$В$33)*МАКС(В14:F14) и скопируем ее в ячейки В35, В36, В37. Получим (рис.11): с₁ = 12,5; с₂ = 10; с₃ = 4,5; с₄ = 8,5.

Для выбора максимального значения c_i в ячейку В38 введем функцию =МАКС(В34:В37) и получим (рис.11) с = max c_i = с₁ = 12,5. Следовательно, приходим к выводу, что правило Гурвица рекомендует первое решение.

Для других значений λ вычисления проведем аналогично (рис. 11).

2) при λ = 0,4: с₁ = 14; с₂ = 12; с₃ = 5,4; с₄ = 9,2.

Выбирая максимальное значение с_i равное 14, приходим к выводу, что правило Гурвица и в этом случае рекомендует первое решение.

3) при λ = 0,3 имеем: с₁ = 15,5; с₂ = 14; с₃ = 6,3; с₄ = 9,9.

Выбирая максимальное значение с_i равное 15,5, приходим к выводу, что правило Гурвица и в этом случае рекомендует первое решение.

Рисунок 11 – Результаты расчетов по правилу Гурвица

Все три правила (правило Гурвица при всех значениях λ) рекомендуют принять первое решение.

3. Проанализируем ситуацию частичной неопределенности, применяя различные правила-рекомендации по принятию решений.

Подготовим рабочий лист с исходными данными (рис.12).

Рисунок 12 – Исходные данные и шаблон для решения задачи

1) Применим правило максимизации среднего ожидаемого дохода.

Найдем средний ожидаемый доход для каждого решения при указанных вероятностях. Для этого в ячейку В48 введем функцию: =СУММПРОИЗВ($В$45:$F$45;В41:F41) и скопируем ее в ячейки В49, В50, В51. Получим (рис.13): М(Q₁) = 8,35; М(Q₂) = 7,45; М(Q₃) = 5,2; М(Q₄) = 7,55.

Найдем максимальный средний ожидаемый доход: в ячейку В52 введем функцию: =МАКС(В48:В51). Определили (рис. 13), что максимальный средний ожидаемый доход равен 8,35 и соответствует первому решению.

2) Применим правило минимизации среднего ожидаемого риска.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных вероятностях для каждого решения: в ячейку Н48 введем функцию: =СУММПРОИЗВ($Н$45:$L$45;Н41:L41) и скопируем ее в ячейки Н49, Н50, Н51. Получим средние риски (рис. 13): М(R₁) = 3,45; М(R₂) = 4,35; М(R₃) = 6,6; М(R₄) = 4,25.

Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний риск. Для определения этого значения в ячейку Н52 введем функцию: =МИН(Н48:Н51). Минимальный средний риск равен 3,45 (рис.13) и соответствует первому решению.

Рисунок 13 – Результаты расчетов по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода и правилу минимизации среднего ожидаемого риска