§ 10 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий (средних значений) двух коррелированных нормальных величин с неизвестными дисперсиями. Процедура Парный двухвыборочный t-тест для средних
Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий (средних значений) двух однородных зависимых нормальных случайных величин (сопряженные пары наблюдений) с неизвестными дисперсиями в Excel применяется процедура надстройки Анализ данных Парный двухвыборочный t-тест для средних.
Данная процедура применяется для двух однородных зависимых выборок. Обычно эта гипотеза проверяется при обработке результатов проведения линейного эксперимента - для оценки различий изучаемого признака в одной и той же группе до и после воздействия (т.е. до и после формирующего этапа эксперимента). Необходимое условие применения данной процедуры статистического анализа: выборочный коэффициент корреляции Пирсона должен быть положительным.
Рассмотрим алгоритм применения данной процедуры на примере проверки эффективности эксперимента по повышению успеваемости в данной группе школьников:
- вводим числовые данные в указанном формате: каждая выборка в отдельном столбце с метками:
Здесь каждая строка соответствует одному школьнику:
До - успеваемость школьника на констатирующем этапе,
После - успеваемость того же школьника на контрольном этапе.
- выбираем Данные/ Анализ данных/ Парный двухвыборочный t-тест для средних:
- нажимаем «ОК»; открывается соответствующее окно:
- с помощью кнопок минимизации вводим адреса ячеек: каждая выборка в отдельном окне;
- в окне Гипотетическая средняя разность вводим число 0;
- ставим флажок в окне Метки; окно примет вид:
- нажимаем «ОК» и получаем следующие результаты:
Выборочный коэффициент корреляции Пирсона положителен, поэтому применение данной процедуры корректно. Так как наблюдаемое значение t-теста (t-статистика) превосходит по модулю критические односторонние и двусторонние значения, нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается: средние значения отличаются значимо. Тот же вывод получим, сравнивая значимости P(T<=t) одностороннее и P(T<=t) двустороннее с уровнем значимости 0,05: обе значимости меньше уровня значимости. Следовательно, средние значения в обеих группах отличаются значимо, т.е. статистически различны для односторонней и двусторонней альтернатив. Таким образом, статистически подтверждена эффективность данного эксперимента.
Замечание.
Процедура Парный двухвыборочный t-тест для средних может применяться для проверки гипотезы о равенстве математического ожидания (среднего значения) нормальной случайной величины заданному числу a. При этом вместо данных во второй столбец вводятся нули, а число a вводится в окно Гипотетическая средняя разность.
Пример. Проверим с помощью процедуры Парный двухвыборочный t-тест для средних нулевую гипотезу о том, что математическое ожидание переменной Х равно 3. Пусть переменная Х представлена следующими данными:
- вводим второй столбец У из нулей той же «высоты»:
- выбираем Данные/ Анализ данных/ Парный двухвыборочный t-тест для средних;
- нажимаем «ОК», открывается соответствующее окно
- с помощью кнопок минимизации вводим адреса ячеек: каждая выборка в отдельном окне;
- в окне Гипотетическая средняя разность вводим число 3;
- ставим флажок в окне Метки.
Окно примет вид:
- нажимаем «ОК» и получаем следующие результаты:
Так как наблюдаемое значение t-теста t-статистика не превосходит критических односторонних и двусторонних значений, нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних: средние значения отличаются незначимо. Тот же вывод получим, сравнивая значимости P(T<=t) одностороннее и P(T<=t) двустороннее с уровнем значимости 0,05: обе значимости больше уровня значимости, следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу для односторонней и двусторонней альтернатив: математическое ожидание переменной Х статистически значимо равно 3.