6.Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла.

1. Понятие определенного интеграла

Зададим на отрезке неотрицательную непрерывную функцию . Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми и . Эту фигуру принято называть криволинейной трапецией.

Разобьем отрезок на частей точками , выберем на каждом из полученных частичных отрезков по произвольной точке , определим значения функции в этих точках и составим сумму:

, ,

которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей затушеванных прямоугольников.

Будем стремить все к нулю. Если при этом величина стремится к определенному пределу , независящему от способов разбиения отрезка и выбора точек на частичных отрезках, то величина S является площадью криволинейной трапеции. Таким образом, этот предел будем называть определенным интегралом функции f(x) на сегменте и обозначать символом

.

Числа и носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интегрирования, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение.

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегри­руемыми (т.е. существует определенный интеграл, да­ют следующие теоремы:

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.

Теорема Ньютона-Лейбница. Пусть задана непрерывная функция на отрезке и пусть есть ее первообразная. Тогда вычисление определенного интеграла от на сводится к простой подстановке чисел и в :

.

Примеры. 1. , ,

2. , .

Таким образом, для вычисления определенного интеграла достаточно уметь вычислять неопределенный интеграл.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .

2. Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

у

+ +

0 a - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)