3.2 Интегральное преобразование Радона

Как говорилось ранее (см. Введение) впервые задачу реконструкции изображения рассмотрел Радон, он же получил решение уравнения (3.4).

Из закона Бера (2.3) для интенсивности I(ξ,θ) излучения, прошедшего сквозь объект вдоль оси ξ имеем:

Проекцией p(ξ,θ) называют соотношение:

Подставляя в это выражение µ_θ(ξ,ζ) получим интегральное преобразование Радона для двумерной функции µ(x,y):

(3.5)

Далее используя свойства δ-функции Дирака преобразование Радона можно представить в виде:

(3.6)

(δ-функция Дирака равна 0 везде, кроме прямой ξ=xcosθ+ysinθ).

Итак, основной задачей вычислительной томографии является восстановление неизвестной µ(x,y) по проекциям p(ξ,θ), связанным с искомой функцией µ(x,y) преобразованиями Радона.

4. Методы обращения интегрального преобразования Радона

С математической точки зрения необходимо указать метод обращения интегрального преобразования.

Например, при помощи обратного преобразования Радона:

(3.7)

В фигурных скобках имеем несобственный интеграл по ξ, являющийся преобразованием Гильберта (обозначим как H),и понимаемый в смысле главного значения Коши. Поэтому можно представить это выражение иначе:

(3.8)

Интегрирование по углу θ в вычислительной томографии называют обратным проецированием.

Формула обратного преобразования Радона весьма чувствительна с следующим погрешностям (при реальных измерениях):

• Функцию p(ξ,θ) получают на дискретном массиве точек,что затрудняет выполнение операции дифференцирования. Необходимо аппроксимировать данные p(ξ,θ) непрерывными функциями с использованием различных методов регуляции;

• В измерениях присутствуют погрешности, связанные с шириной пучка и рассеянием рентгеновского излучения изменением энергетического спектра излучения по мере прохождения через объект, квантовыми флуктуациями и пр.

Поэтому в практической рентгеновской вычислительной томографии используют другие более эффективные алгоритмы обращения.

4.1 Метод двумерной фильтрации (метод ρ- фильтрации)

Состоит из двух этапов:

1. Получение суммарного изображения g(x,y) с помощью операции обратного проецирования;

2. Двумерная фильтрация суммарного изображения, результатом которой является оценка исходного изображения .

Операция двумерного проецирования:

• Для каждой проекции p(ξ,θ) находится обратная проекция b(x,y,θ):

(4.1)

Рис.7 Получение обратной проекции

То есть значение отсчета p(ξ,θ) приписываем всем точкам, лежащим на прямой ξ=xcosθ+ysinθ в неподвижной системе координат.

• Суммарное изображение g(x,y) получится суперпозицией всех обратных проекций:

(4.2)

Операция обратного проецирования позволяет получить первое приближение к искомому решению, которое может быть удовлетворительным для простых изображений и сопоставимо по качеству с изображением, получаемым с помощью традиционной нелинейной томографии.

Суммарное изображение g(x,y) связано с искомой функцией µ(x,y) уравнением свёртки:

(4.3)

где  — знак двумерной свертки.

- ядро свёртки.

Действительно, по определению (3.6) обратной проекции (преобразование Радона):

Тогда

Так как:

Вычисляя интегралы с помощью свойств δ-функции Дирака от сложного аргумента, получаем:

(4.4)

То есть суммарное изображение g(x,y) является двумерной свёрткой искомой функции µ(x,y) с некоторым ядром h₂(x,y).

Двумерная фильтрация суммарного изображения:

Из полученного выражения следует необходимость дополнительной операции фильтрации суммарного изображения, т.е. решения свертки с известным ядром или другим ядром.

Для решения свёртки (4.3) воспользуемся теоремой о двумерной свёртке:

Где F₂{…}-двумерное преобразование Фурье.

Тогда (4.5)

где F₂^-1{…}- обратное двумерное преобразование Фурье.

Вместо истинного значения µ(x,y) используется оценка истинного распределения по следующим причинам:

• При измерениях проекции p(ξ,θ) определяются с некоторой ошибкой. Поэтому проецирующая функция δ(ξ) в (3.5) строго говоря, должна быть заменена более протяженной и физически более адекватной чётной функцией, пространственный спад которой достаточно быстро убывает. Следовательно, суммарное изображение g(x,y) и восстановленное по (4.5) изображение будут получены с некоторой ошибкой.

• Если Фурье-образ ядра h₂(x,y) будет иметь близкие к 0 значения, то полученная оценка может сколь угодно сильно отличаться от истинного изображения µ(x,y), что является отражением общей некорректности задачи решения интегральных уравнений первого рода, к которым относится свёртка.

При реальных вычислениях вводят аподизирующую функцию (функцию окна) A₂(u,v) в Фурье-пространстве (u, v- декартовы координаты в фурье-пространстве). Эта функция учитывает априорную информацию и регулирует некорректную задачу решения свёртки.

Таким образом, получим два представления:

(4.6)

Какое из этих представлений использовать зависит от того, насколько быстро выполняются реальные вычисления свёртки и преобразования Фурье.