Пример решения
Определить максимальное значение функции двух переменных и оптимальные значения переменных
f(x,y) = x3 + y2 – 6xy - 39x + 18y +100
Берём производные по переменным, приравниваем их значения нулю и решаем систему
fx' = 3x2 - 6y - 39 = 0;
fy' = 2y - 6x + 18 = 0;
x2 - 2y - 13 = x2 - (3x - 18) - 13 = x2 - 3x + 5 = 0
x1 = 1, y1 = -6; x2 = 5, y2 = 6;
A = fxx'' = 6x; B = fyy” = 2; C = fxy” = -6;
Если A*B – C2 < 0 , то анализируемая точка - точка перегиба.
Если A*B – C2 > 0 и А > 0, то в анализируемой точке функция минимальна.
Если A*B – C2 > 0 и А < 0, а B > 0, то в анализируемой точке функция максимальна.
В примере точка М = (1, -6) - точка перегиба, так как A*B - C2 = 6*1*2 - 36 < 0;
а точка М = (5, 6) - точка минимума, так как A*B – C2 = 6*5*2 - 36 > 0;
Варианты заданий
1 2x3 + 2y2 – 9xy - 27x + 12y +100
2 x3 + 3y2 – 6xy - 28x + 21y +150
3 2 x3 + 4y2 – 9xy - 21x + 18y +100
4 x3 + 5y2 – 6xy - 39x + 21y +150
5 x3 + 2y2 – 9xy - 27x + 12y +100
6 2x3 + y2 – 9xy - 29x + 21y +150
7 x3 + 2y2 – 6xy - 21x + 18y +100
8 2x3 + y2 – 6xy - 39x + 12y +100
9 x3 + y2 – 9xy - 27x + 18y +150
10 2x3 + y2 – 6xy - 21x + 21y +100
11 x3 +2 y2 – 9xy - 39x + 18y +100
12 2x3 + y2 – 9xy - 27x + 21y +150
13 x3 + y2 – 6xy - 21x + 18y +100
14 2x3 + 2y2 – 9xy - 27x + 21y +100
15 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 18y +100
16 2x3 + y2 – 9xy - 21x + 21y +150
17 x3 + 2y2 – 6xy - 27x + 18y +100
18 x3 + 2y2 – 9xy - 27x + 18y +100
19 2x3 + y2 – 6xy - 39x + 21y +150
20 x3 + 2y2 – 9xy - 39x + 18y +100
21 x3 + 2y2 – 6xy - 27x + 21y +150
22 2x3 + y2 – 9xy - 27x + 18y +100
23 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 21y +100
24 2x3 + 3y2 – 6xy - 39x + 21y +150
25 x3 + 4y2 – 7xy - 39x + 21y +200
26 x3 + 2y2 – 8xy - 39x + 21y +100
27 2x3 + 2y2 – 9xy - 39x + 21y +150
28 x3 + 3y2 – 7xy - 39x + 21y +200
29 2x3 + 2y2 – 9xy - 39x + 21y +100
30 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 21y +150
31 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 21y +200
32 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 21y +100
33 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 21y +150
34 x3 + 4y2 – 8xy - 39x + 21y +200
35 2x3 + y2 – 6xy - 39x + 21y +100
36 x3 + 2y2 – 6xy - 39x + 21y +150
37 x3 + 3y2 – 9xy - 39x + 21y +200
38 2x3 + 4y2 – 6xy - 39x + 21y +100
39 x3 + 5y2 – 6xy - 39x + 21y +150
40 x3 + 6y2 – 6xy - 39x + 21y +200
41 x3 + 5y2 – 9xy - 39x + 21y +100
42 2x3 + 4y2 – 6xy - 39x + 21y +150
43 x3 + 6y2 – 9xy - 39x + 21y +200
44 2x3 + 6y2 – 6xy - 39x + 21y +100
45 x3 + 6y2 – 9xy - 39x + 21y +150
46 x3 + 4y2 – 6xy - 39x + 21y +200
47 x3 + 3y2 – 6xy - 39x + 21y +100
48 2x3 + 6y2 – 9xy - 39x + 21y +150
49 x3 + 6y2 – 6xy - 39x + 21y +200
50 2x3 + 5y2 – 9xy - 39x + 21y +100
51 x3 + 6y2 – 6xy - 39x + 21y +150
52 x3 + 4y2 – 9xy - 39x + 21y +200
Раздел 3. Задачи условной оптимизации
Рассмотрим задачу условной оптимизации, когда множество допустимых решений задается с помощью системы неравенств и уравнений:
при ограничениях (3.1)
где gi и hj называются функциями ограничения. Если среди всех функций f, gi, hj имеется хотя бы одна нелинейная функция, то (3.1) называется задачей нелинейного программирования. В противном случае это есть задача линейного программирования. Считая задачу (3.1) гладкой составим для нее функцию Лагранжа, зависящую от n+k+m переменных
:
(3.2)
где
-
вектор множителей Лагранжа для неравенств,
а
-
вектор множителя Лагранжа для равенств.
В формулировке необходимых признаков применяется градиент функции L по x :
.Рассматриваются
регулярные задачи, когда векторы
линейно
независимы.
Теорема
(необходимое условие Куна-Такера). Пусть
задача гладкая. Для того, чтобы точка
была
точкой локального минимума (максимума)
в задаче (3.2)
необходимо выполнение следующих условий:
стационарности:
(3.3)дополняющей нежесткости:
(3.4)неотрицательности:
(3.5).
Причем все множители
Лагранжа
и
одновременно
не могут быть равны нулю.
С помощью условий этой теоремы можно составить следующий алгоритм решения задачи (3.2) , который называется методом множителей Лагранжа:
убедиться в существовании экстремальных точек (теорема Вейерштрасса и ее следствие);
составить функцию Лагранжа (3.2) ;
выписать все необходимые условия (3.3)-(3.5) ;
вычислить все стационарные точки, то есть найти все решения уравнений (3.2) ;
определить характер экстремума стационарных точек.
Оптимальному
решению задачи соответствует (единственная)
совокупность
множителей
Лагранжа. Поэтому для вычисления
стационарных точек x0
из уравнения (3.3)
требуется
предварительно найти значения всех
множителей Лагранжа. Таким образом,
имеется всего n+k+m
неизвестных
.
Для их нахождения (n
- уравнений)
присоединяют k-
ограничений -неравенств и m
-
ограничений-равенств .
Введение функции Лагранжа, по существу, сводит задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации. Поэтому необходимые условия II порядка и достаточные условия для функции Лагранжа являются обобщениями соотношения:
и
.