2 Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазуға болады.

, (1)

Дифференциалдық теңдеудің бұлай жазылуының артықшылығы мынада:

(1) теңдеуінде х пен у айнымалылары тең құқықта қатысады. Айталық, функцияларын және

түрінде жазуға мүмкіндік болсын. Сонда (1) теңдеуді айнымылылырына ажыратылатын деп атайды. Енді

теңдеуінің екі жағын көбейтіндісіне бөлсек:

(2)

теңдеуі шығады. (2) теңдеуде х пен у айнымалылары ажыратылған :dx дифференциалының алдындағы коэффициент тек қана х- ке, ал dy алдындағы - тек қана у- ке байланысты .

1 мысал . дифференциалдық теңдеуін шешу керек .

Шешуі: Айнымалыларды ажыратсақ:

Соңғы теңдеуді интегралдасақ :

Бұл жерде және бұдан былай да ыңғайына қарай отырып С тұрақтысын ерікті түрде жазамыз: логарифмі де кез келген тұрақты болады. Сөйтіп теңдеудің жалпы шешімін табу үшін соңғы теңдік потенциалдау керек:

2 мысал. дифференциалдық теңдеуін шешу керек .

Шешуі: Берілген теңдеуді түрінде жазып, интегралдау тұрақтысын деп алсақ :

Бұдан . Бұл - берілген теңдеудің жалпы интегралы.

Әдебиет: 4,б.7-24; 5,б.9-20; 9, б.8-21; 4, б.22-62.

Бақылау сұрақтары мен тапсырмалар:

1. Бірінші ретті кәдімгі дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі қандай?

2. (a,b) – шешімі болатын функцияның аты қандай?

3. Дифференцифлдық теңдеудің қандай формасы нормаланған форма деп аталады?

4. дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын дәлелдеңіз.

5. дифференциалдық теңдеудің шешімі және геометриялық мәні қандай?

6. теңдеуімен анықталатын бағытталған өріс дегеніміз не?

7. Изоклиналалар дегеніміз не? Изоклина интегралдық қисық бола ала ма?

8. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебі қалай қойылады (алғашқы шешім)?

9. Коши есебінің жалғыздығы орындалатын және қандай да бір D облысындағы теңдеуінің жалпы шешімі қалай аталады?

10. Қандай шешім кәдімгі деп аталады?

11. Айнымалылары ажыратылғын теңдеудің жалпы интегралы қалай табылады?

12. Айнымалылары ажыратылғын теңдеудің қалай интегралданады? Қандай функциялар жалпы шешім бола алады?

2,3 Тақырып. Бірінші ретті сызықтық және біртекті дифференциалдық теңдеулер

Дәріс мақсаты:

- бірінші ретті сызықтық және біртекті дифференциалдық теңдеулер анықтама беру

- бірінші ретті сызықтық және біртекті дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін қарастыру

Қарастырылатын сұрақтар тізімі:

1. Бірінші ретті біртекті теңдеулер

2. Бірінші ретті сызықтық теңдеулер

1. Бірінші ретті біртекті теңдеулер

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдау мәселесі тағы да бір теңдеулер тобына қатысты.

Анықтама: Егер кез келген t саны үшін

f(tx, ty)= t^m f(x,y).

теңдігі орындалса, онда f(x,y) біртекті деп, m санын біртекті функцияның көрсеткіші деп атайды. Мәселен f(x,y)

және f(x,y) , f(x,y) функцияларының біртектілік көрсеткіштері сәйкес 2-ге, 1-ге және 0-ге тең.

Анықтама: Егер

дифференциалдық теңдеуінің оң жағы 0 көрсеткішті біртекті функция болса, онда дифференциалдық теңдеудің өзін біртекті деп атайды.

Біртекті дифференциалдық теңдеуді шешудің әдісі мынадай :

теңдігі арқылы жаңадан функциясын енгіземіз. Сонда:

f(x,y)= f(x,xu)= f(1,u)

Бұл айнымалылары бөлектенетін дифференциалдық теңдеу.

1 Мысал. дифференциалдық теңдеуін интегралдау керек.

Шешуі: дифференциалдық теңдеудің оң жағы 0 көрсеткішті біртекті. ауыстыруын қолданамыз:

Бұдан бірқатар түрлендіруден кейін:

шығады.

Интегралдасақ:

Енді бастапқы ізделінді функциясына көшсек:

,

Берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы міне осы.