8 Дослідження нелінійних сау методом фазової площини
8.1 Мета роботи
Метою роботи є дослідження нелінійних систем автоматичного управління методом фазової площини.
8.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів
Під час підготовки до лабораторної роботи студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал і дані практичних занять. Ознайомитися з матеріалами що наведені у літературі [3-9], а саме: нелінійні САУ, типи нелінійних елементів, методи дослідження нелінійних систем.
Програмою досліджень лабораторної роботи є: побудова фазового портрету нелінійної системи при різних типах нелінійностей.
Метод фазової площини відноситься до аналітичних методів розв'язання нелінійних САУ при конкретних початкових умовах і вхідних впливах. Метод дозволяє аналізувати нелінійні системи другого порядку і полягає в поданні динаміки САУ рухом зображуючої точки на фазовій площині. Він заснований на побудові та вивченні фазового портрету, так як по ньому можна судити про стійкість і рухи системи.
Нехай САУ описується нелінійним рівнянням виду
(8.1)
Змінні стану, які збігаються з вихідною змінною і швидкістю, називають фазовими змінними:
(8.2)
З урахуванням (8.2) рівняння (8.1) можна замінити двома рівняннями:
(8.3)
Перехідний процес в системі (8.3) розглядається на площині параметрів x1 та x2 (рис. 8.1), яку називають фазовою площиною.
Стан системи в кожен момент часу (або фаза руху), визначається парою чисел (X1, X2) і представляється на фазовій площині зображаючою точкою М0. При зміні стану системи зображаюча точка описує у фазовому просторі траєкторію. Ця траєкторія називається фазовою траєкторією, а множина фазових траєкторій системи - її фазовим портретом.
Рисунок 8.1 – Фазова траєкторія на фазовій площині
Диференціальне рівняння фазових траєкторій отримаємо, розділивши друге рівняння системи (8.3) на перше:
(8.4)
Фазові траєкторії будуються за рішенням рівняння (8.4), якщо його можна знайти, або безпосередньо за рівнянням (8.4) за допомогою методу ізоклін.
Ізокліною називають геометричне місце точок однакового нахилу фазових траєкторій до горизонталі, тобто точок, в яких
,
(8.5)
де
– тангенс кута нахилу фазової траєкторії
до горизонталі.
З (8.5) та (8.4) випливає рівняння ізоклін
. (8.6)
Задаючись
різними значеннями С в межах
за рівнянням (8.6) будують сімейство
ізоклін на фазовій площині. На кожну
ізокліну наносять серію коротких
спрямованих відрізків під кутом до
горизонталі. Фазові траєкторії проводять
так, щоб знайдені відрізки були дотичними
до них.
8.3 Опис лабораторної установки
Лабораторна робота виконується в середовище Matlab за допомогою пакету моделювання динамічних систем Simulink. Опис лабораторної установки наведений в пункті 1.3.
8.4 Порядок виконання роботи та методичні вказівки щодо її виконання
На рис. 8.2 неведені характеристики нелінійних елементів.
Рисунок 8.2. Характеристики нелінійних елементів: ідеальна релейна характеристика (а); характеристика із зоною нечутливості та насиченням(б); релейна характеристика із зоною нечутливості (в); релейна характеристика з гістерезисом(г); люфт (д)
Побудувати віртуальний макет (рис.8.3), який складається з налаштованих відповідно до завдання нелінійних характеристик та послідовно підключеної лінійної частини, яка задана в завданні у відповідності до варіанту (додаток Г).
Рисунок 8.3 – Віртуальній макет для моделювання
8.4.1 Для моделювання процессу побудови фазових портретів в нелінійних САУ спочатку потрібно в системі вибрати та налаштувани задані нелінійності.
Для реалізація ідеальної релейної характеристики необхідно вибрати блок Relay (рис.8.4,а), та відкрити його для редагування параметрів (двічі натиснувши лівою кнопкою миші на блоку) (рис.8.4,б).
а) б)
Рисунок 8.4 – Налаштування блоку Relay: зовнішній вигляд блоку (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Реалізація характеристики із зоною нечутливості та насиченням – послідовне з’єднання блоків Dead Zone, Gain та Saturation з відповідним налаштуванням їх параметрів (рис.8.5).
Для реалізації релейної характеристики із зоною нечутливості використовується блок Dead Zone (рис.8.6).
а) б)
в) г)
Рисунок 8.5 – Характеристика із зоною нечутливості та насиченням: зовнішній вигляд блоку (а), вікно редагування параметрів блоків Gain (б), Saturation(в) та Dead Zone (г)
а) б)
Рисунок 8.6 – Налаштування блоку Dead Zone: зовнішній вигляд блоку (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Для реалізації релейної характеристики з гістерезисом використовується блок Relay (рис.8.7).
а) б)
Рисунок 8.7 – Налаштування блоку Relay для реалізації релейної характеристики з гістерезисом: зовнішній вигляд блоку (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Для реалізації нелінійної характеристики типа люфт використовується блок Backlash (рис.8.8).
а) б)
Рисунок 8.8 – Налаштування блоку Backlashдля реалізації нелінійності типу люфт: зовнішній вигляд блоку (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Для побудови макету використовуються наступні блоки:
– Sine Wave – генератор синусоїдального сигналу;
– Subtract (бібліотека simulink/MathOperations) – від’ємний суматор;
– Multiport Switch (simulink/SignalRouting) – перемикач конфігурацій, перемиканя здійснює у відповідності зі значенням блоку Constant, який вказує на номер включеної гілки системи;
– Derivative (simulink/CommonlyUsed Blocks ) – блок диференціювання;
– XY Graph та Scope (simulink/Sinks).
Здійснити моделювання фазових портретів для системи при різних нелінійних характеристиках. Проаналізувати результати.
8.5 Зміст звіту
Оформлення матеріалів звіту оговорюється у загальних положеннях до методичних вказівок.
У теоретичній частині необхідно навести ескізи фазових портретів та супроводжуючі розрахунки: диференціальні рівняння, що описують лінійну частину; рівняння, що описують нелінійні елементи; рівняння фазових траєкторій і ліній перемикання.
В експериментальній частині необхідно привести результати моделювання: фазові портрети, фазові траєкторії, перехідні процеси.
У висновках навести аналіз отриманих результатів: знаходження відповідності між видами фазових траєкторій і процесів у часі, аналіз впливу коефіцієнта зворотного зв'язку на вид фазового портрету, на виникнення ковзаючого режиму в системі та ін.
8.6. Контрольні запитання та завдання
1. Визначення фазової траєкторії і фазового портрету.
2. Визначення лінії перемикання. Від чого залежить нахил лінії (ліній) переключення?
3. Визначення ковзаючого режиму. Умови його появи.
4. Граничний цикл: визначення, умови виникнення і графічне зображення на фазовій площині.
5. Визначення системи, стійкої / нестійкою в малому / великому.
6. Навести приклад фазової траєкторії і знайти відповідний їй перехідний процес.
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ
1. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab [Текст] / Б. Р. Андриевский, А. П. Фрадков. –Спб. : Наука, 2000. – 475 с.
2. ДСТУ 3008–95. Документація. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення [Текст]. - Введ. 1996-01-01. - К. : Держстандарт України, 1995. – 29 с.
3. Юркевич, Е. И. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. / Е. И. Юркевич. – 3-е изд. – СПб. : БХВ-Петербург, 2007 – 560 с.
4. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования [Текст] / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – 4-е изд. – СПб. : Профессия, 2004. - 752 с.
5. Певзнер, Л. Д. Практикум по теории автоматического управления [Текст] : учеб. пособие / Л. Д. Певзнер. – М. : Высшая школа, 2006. – 590 с.
6. Андриевский, Б. Р. Избранные главы ТАУ с примерами на языке MATLAB [Текст] / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. – СПб. : Наука, 1999. – 467 с.
7. Попович, М. Г. Теорія автоматичного керування [Текст]: підруч./ М. Г. Попович, О. В. Ковальчук. – К. : Либідь, 1997. – 544 с.
8. Основы автоматизации управления производством [Текст] : учеб. пособие / под ред. И. М. Макарова. – М. : Высш. шк., 1983. – 504 с.
9. Воронов, А. А. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. / 2-е изд. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления / А. А. Воронов. – М. : Высшая школа, 1986. – 367 с.
10. Перепелкин, С. Р. Расчёт следящих систем [Текст] / С. Р. Перепелки - М. : Высш. шк., 1978. – 124 с.