2. Интерполирование опытных данных. Линейное интерполирование

Встроенные функции MathCAD позволяют при интерполяции проводить через экспериментальные точки кривые разной степени гладкости.

При линейной интерполяции аппроксимирующая функция соединяет опытные точки отрезками прямых линий. Для линейной интерполяции используется встроенная функция linterp.

Обращение к функции:

linterp(х, у, t),

где х – вектор опытных значений аргумента; у – вектор опытных значений функции; t – значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующее значение функции, но чаще определяется ряд значений функции, тогда t – вектор значений, а результат  – массив интерполирующих значений. Еще чаще t – просто переменная (аргумент интерполирующей функции), тогда результат расчета – функция, которую можно далее интегрировать, дифференцировать и т. д. примеры линейной интерполяции показаны на рис. 6.1. Исходный массив данных Y на этом рисунке создан генератором случайных чисел rnd (см. математ. cтат–кf). Координаты Х в этом примере взяты равноотстоящими друг от друга, но это необязательно.

                                                                    Массив экспериментальных данных (Х, У)

                                                                                                 

                                                                                                     

                                                                                 интерполирующее значение в точке Х=5

                                                                                           

                                                              У2-массив интерполирующих значений массива У в точках, заданных вектором Х1

                                                                              непрерывная интерполирующая функция

                                                                            

                                                                          Рис. 6.1 Линейная интерполяция экспериментальных данных

Билет № 14

1. Продуктивные модели Леонтьева.

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора   с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор  , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора   с неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение   с неотри­цательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положи­тельного решения системы (16.6) хотя бы для одного положи­тельного вектора  , чтобы матрица А была продуктивной. Пе­репишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (E - А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (16.7):

Матрица (Е — А)-1 называется Матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матри­цы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продукти­вна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1сущест­вует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотри­цательными элементами продуктивна, если сумма элемен­тов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

Причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за не­который период времени между пятью отраслями промышлен­ности. Найти векторы конечного потребления и валового вы­пуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и опре­делить, является ли она продуктивной в соответствии с при­веденными выше критериями.

Решение. В данной таблице приведены составляющие ба­ланса в соответствии с соотношениями (16.2): Xij — первые пять столбцов, Уi — шестой столбец, Xi — последний столбец (I,J = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах боль­ше единицы. Следовательно, условия второго критерия продук­тивности не соблюдены и матрица А не является продуктив­ной. Экономическая причина этой непродуктивности заключа­ется в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слиш­ком велико в соотношении с их валовыми выпусками.