Определение числа p

Теорема: Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.

Доказательство.

Обозначим через L - длину окружности, через d - её диаметр, то формулировка теоремы запишется следующим образом:   Рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса r со стороной аn и периметром Рn, то   Докажем, что отношение одинаково для всех окружностей. Рассмотрим две произвольные окружности с вписанными в них правильными n-угольниками. Из подобия треугольников АОВ и А1О1В1 следует, что   т.к. окружности брали произвольные, то это равенство будет справедливо для всех окружностей. Итак,  для всех окружностей, следовательно   Это отношение длины окружности к её диаметру принято обозначать греческой буквой "p". Определение: Числом p называется отношение длины окружности к её диаметру.

История числа е

Число  появилось сравнительно недавно. Его иногда называют "неперовым числом" в честь изобретателя логарифмов шотландского математика Джона Непера (1550-1617), однако необоснованно, так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление" [10]. Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав представление числа е в виде бесконечного числового ряда:  полученное Даниилом Бернули (1700-1782). "В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа е.Л. Эйлер получил замечательный результат, связывающий числа е, p, и :  . Ему принадлежит и заслуга определения функции  для комплексных значений z, что положило начало математическому анализу в комплексной области - теории функций комплексного переменного" [10]. Эйлером были получены следующие формулы:   Рассматривают логарифмы по основанию е, называемые натуральными и обозначаются Lnx.

Способы определения: Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел:

 (второй замечательный предел) .

Как сумма ряда:

или  .

Как единственное число a, для которого выполняется

Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

 Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения  является функция  , где c - произвольная константа. число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e - нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

, см. формула Эйлера, в частности

Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"

Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

, то есть

Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен

.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред. Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа "Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически" 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный"). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой "свободной" буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler)  [источник не указан 334 дня] .