Задача о кручении стержня.

Кинематика микрополярной среды Коссера.

В рассмотрение среды Коссера вводится понятие структуры элемента. Несёт информацию о структуре этой среды.

Можем сначала рассмотреть объём всего тела V. Минимальный объём будет .

Если , то тело можно рассматривать как тело сплошной среды.

Контрольный объём должен быть меньше всего объёма среды.

- контрольный объём

- элементарный объём

- объём структурного элемента

Модель Коссера предполагает, что каждый структурный элемент – это абсолютно твёрдое тело; поступательные степени Коссера не рассматриваются; каждый структурированный элемент обладает степенью свободы; обладает шестью степенями свободы.

характеризует внутренний поворот.

- квазиэлементарный элемент

характеризирует изгиб элементарного объёма.

- тензор изгиба кручения для каждого элементарного объёма полагается величиной постоянной.

Будем работать в подходе Лагранжа и попытаемся определить деформацию.

- тензор поворота Коши-Лагранжа

- вектор поворота.

характеризует деформацию данного объёма.

если i и j поменяем местами, то эти компоненты не будут симметричными.

Кинематика микроморфной среды.

Каждый структурированный элемент рассматривается в качестве деформируемой среды.

тензор дисторсии Лагранжа.

перемещение структурного элемента под номером i внутри элементарного объёма.

Истинные деформации.

Весь процесс деформирования можем разбить на этапы.

Вводим понятие приращения деформации и приращение перемещения.

- криволинейный интеграл.

В качестве примера рассмотрим растяжение резинки, тогда

- логарифмическая деформация или деформация Хенки и Гренки.

Тензор скоростей деформации.

Г – символ Кристоффеля.

Первая теорема Гейнгольца для скорости:

Скорость любой точки элементарного объёма складывается из скорости полюса, скорости квазитвёрдого вращения вокруг этого полюса и скорости …

всё разделим на и перейдём к пределу.

Докажем теорему в переменных Эйлера. Суть переменных Эйлера – неподвижная система координат, задаются скорости в разных точках пространства.

- компонента тензора второго ранга.

тензор скоростей дисторсии.

можно поставить в соответствие

Кинематический смысл компонент тензора скоростей деформации.

Недиагональные компоненты характеризуют скорость.

Определим скорость N относительно М.

Диагональные Компоненты тензора скоростей деформации характеризуют скорость относительного удлинения элементарного объёма вдоль координатных осей.

Удвоенные недиагональные компоненты тензора скоростей деформации определяют скорости изменения прямых углов между координатными осями.

Инварианты тензора скоростей деформации.

Три инвариантных выражения.

или

Если , то среда несжимаемая. Первый инвариант характеризует сжимаемость среды.

Второй инвариант характеризует интенсивность скоростей деформации.

интенсивность скоростей деформации.