2.2Сфера, вписанная в цилиндр, конус и усеченный конус.

Определение. Сфера называется вписанной в цилиндр, конус, усеченный конус, если каждая образующая цилиндра, конуса, усеченного конуса является касательной к сфере, а каждая плоскость основания цилиндра, конуса, усеченного конуса касается сферы в точке, лежащей внутри основания.

В этом случае говорят, что цилиндр, конус, усеченный конус описаны около сферы.

Теорема 1. Существует сфера, вписанная в конус.

Нам нужно доказать, что в конус можно вписать сферу. Так как нам известно, что конус симметричен относительно любого сечения, проходящего через его высоту, то мы, если докажем, что в любое такое сечение можно вписать окружность (центр у всех окружностей один и тот же), то докажем, что в конус можно вписать сферу.

Рассмотрим сечение конуса, проходящее через высоту конуса.

Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием ВС. Высота ОА будет являться также и биссектрисой. Следовательно центр вписанной окружности О₁ будет находиться на ОА (вписать окружность можно, как известно, в любой треугольник). А так как все остальные рассматриваемые сечения будут равны АВС, то следовательно, и центры вписанных окружностей будут совпадать. Значит в конус можно вписать сферу с центром О₁ и радиусом ОО₁.

Теорема 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру оснований.

Здесь рассматриваются сечения, которые будут являться прямоугольниками. Окружность можно вписать только в квадрат, отсюда и вытекает условие, что высота равна диаметру основания.

Теорема 3. В усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его образующая равна сумме радиусов оснований.

3.Ключевые задачи.

Задача 1. Имеются два одинаковых шара с радиусом R, которые касаются друг друга внешним образом и плоскости. Найти расстояние между точками касания шаров и плоскости.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное плоскости, на которой лежат шары. Так как эти шары касаются друг друга, то существует плоскость, которой они касаются в точке К. Эта плоскость будет перпендикулярна первой плоскости. Следовательно, углы АО₁К и КО₂В прямые, и значит АВО₂О₁ – прямоугольник. Следовательно, АВ=2R.

Задача 2. На плоскости лежат два шара с радиусами R₁ и R₂, которые касаются внешним образом. Найти расстояние между точками касания шаров и плоскости.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное плоскости, на которой лежат шары. Точки А и В – точки касания шаров и плоскости. Опустим перпендикуляр О₂К на АО₁. КО₁= АО₁-КА. Если учесть, что КА=О₂В=R₂, а О₁О₂=R₁₊R₂ то по теореме Пифагора . А так как КАВО₂ – прямоугольник, то КА=АВ, Следовательно

Методические рекомендации.

Материалом о сфере и шаре, о вписанных в них и описанных около них многогранниках, цилиндрах и конусах практически завершается изучение школьного курса элементарной геометрии в XI классе.

Учащиеся должны знать, что если сечение сферы диаметральной плоскостью изображено в виде эллипса, то концы диаметра сферы, перпендикулярного этой плоскости, находящиеся не на окружности (абрисе), “изображающей” сферу, а внутри круга этой окружности, причем положение концов этого диаметра зависит от формы эллипса (длины его малой оси).

Стоило бы объяснить учащимся, что при решении задач на сферу во многих случаях нет необходимости изображать сферу; удобно пользоваться диаметральным сечением сферы плоскостью, совпадающей с листом бумаги (с плоскостью классной доски). В таком случае решение задачи со сферой и плоскостью, сферой и вписанным в нее (описанным около нее) многогранником, сферой и другой фигурой вращения сводится к решению планиметрической задачи с окружностью и прямой, окружностью и вписанным в нее (описанным около нее) многоугольником, окружностью и равнобедренным треугольником (сечением конуса), окружностью и прямоугольником (сечением цилиндра) или двумя окружностями (сечениями двух сфер). Иногда достаточно изобразить лишь центр сферы, вписанной в данный многогранник или описанной около данного многогранника. Учащиеся должны научиться видеть во взаимном расположении сферы и плоскости (двух плоскостей, двугранного угла) аналогию взаимного расположения окружности и прямой (двух параллельных прямых, плоского угла).

Прежде чем приступать к решению задач, в которых рассматриваются сфера и вписанный в нее многогранник (описанные около нее многогранники), предварительно следует решить задачи на сферу и плоскость, сферу и две (три) плоскости, сферу и двухгранный (трехгранный) угол, пересекающие сферу и многогранник (куб, призму, пирамиду).

Учащимся полезно знать, что для шара (сферы) выполняются следующие метрические соотношения: диаметр шара (сферы), делящий его хорду пополам, перпендикулярен этой хорде; отрезки всех касательных прямых, проведенных к шару из одной расположенной вне шара точки, равны между собой (они образуют поверхность конуса с вершиной в данной точке, а точки касания этих прямых – окружность основания этого конуса); произведение длин отрезков хорд шара, проходящих через одну и ту же внутреннюю точку шара, если величина постоянная (равная R­­²-a², где R – радиус шара, а а – расстояние от центра шара до данной точки); если из одной и той же точки вне шара проедены к нему секущая и касательная, то произведение длины отрезка всей секущей на длину отрезка ее внешней чати равно квадрату длины отрезка касательной (и равно a²-R­­², где R – радиус шара, а а – расстояние от центра шара до данной точки).

При решении задач на взаимное расположение сферы (шара) и плоскости удобно рассмотреть сечение данных плоскости и сферы (шара) той диаметральной плоскостью сферы (шара), которая перпендикулярна данной плоскости. Тогда в сечении получается окружность (круг) и прямая, поэтому решение данной задачи сводится к решению планиметрической задачи на взаимное расположение окружности (круга) и прямой.

При решении задач на взаимное расположение сферы и двух параллельных плоскостей достаточно рассмотреть сечение данных плоскостей и сферы той диаметральной плоскостью сферы, которая перпендикулярна этим плоскостям. Тогда в сечении получаются окружности и две параллельные прямые, поэтому решение данной задачи сводится к решению планиметрической задачи на взаимное расположение окружности и двух параллельных прямых. Примером может служить следующая задача.

Задача 1. Две параллельные плоскости пересекают диаметр АВ сферы в точках С и К, делящих его в отношении АС:СК:КВ=1:2:3. Найдите отношение радиусов полученных сечений сферы (меньшего к большему), если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол α.

Решение. Из соотношения АС:СК:КВ=1:2:3 следует, что точка К является центром данной сферы. Пусть диаметр TL сферы перпендикулярен секущим плоскостям. На рисунке изображено сечение сферы плоскостью, проходящей через диаметры AB и TL, при этом радиусы меньшего и большего сечений сферы равны соответственно HM и PK=R, где R – радиус сферы. Из СК:КВ=2:3 и ВК=R следует, что . Тогда ,

, поэтому

.

Далее, центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. При этом для радиуса r сферы, вписанной в двугранный угол величины α, и расстояния m от центра сферы до ребра двугранного угла справедлива формула: . Если сфера радиуса r вписана в трехгранный угол, все плоские углы которого прямые, то для расстояния m от центра сферы до ребра трехгранного угла справедливо: , а для расстояния d от центра этой сферы до вершины трехгранного угла выполняется: . Этими формулами часто пользуются при решении задач.

При решении задач на комбинацию сферы и двугранного угла (сферы и двух пересекающихся плоскостей). Достаточно рассмотреть сечение двугранного угла и сферы (двух плоскостей и сферы) той диаметральной плоскостью сферы, которая перпендикулярна ребру двугранного угла (прямой пересечения данных плоскостей). Тогда в сечении получаются окружность и плоский угол (окружность и две пересекающиеся прямые), поэтому решение данной задачи сводится к решению планиметрической задачи на комбинацию окружности и плоского угла (окружности и двух пересекающихся прямых). В качестве примера рассмотрим задачу.

Задача 2. Сфера радиуса r касается двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Найдите радиус наименьшей сферы, касающейся этих двух плоскостей т данной сферы.

Решение. Пусть точка А – центр данной сферы радиуса r, касающейся двух взаимно перпендикулярных плоскостей, точка В – центр наименьшей сферы, касающейся этих двух плоскостей и данной сферы, С – точка касания этих сфер. Центры А и В принадлежат биссектору данного двугранного угла.

На рисунке изображено сечение рассматриваемых сфер и двугранного угла плоскостью, проходящей через центры А и В этих сфер перпендикулярно ребру двугранного угла (М – точка пересечения этого ребра и плоскости сечения).

Если x=BC – длина искомого радиуса, то имеем: , .

Тогда АМ-ВМ=АС+СВ или , откуда

.

Учащиеся должны знать, что для того, чтобы около многогранника можно было описать сферу (шар), необходимо, чтобы около любой его грани можно было описать окружность (круг). При этом центр описанной сферы (описанного шара) может лежать к5ак внутри многогранника, так и вне его или на его поверхности (возможно, на ребре многогранника), и проектируется в центр описанной около любой грани окружности (описанного круга). Кроме того, перпендикуляр, опущенный из центра описанной около многогранника сферы (описанного шара) на ребро многогранника, делит это ребро, как хорду сферы (шара) пополам.

При решении задач на комбинацию пирамиды и вписанной в нее сферы радиуса r удобно пользоваться соотношением: , где m – расстояние от центра сферы до ребра многогранного угла, α – величина двугранного угла при этом ребре. Учащимся полезно помнить, что: если все плоские углы треугольной пирамиды равны по 60⁰, то расстояние от вершины угла до центра вписанной в этот угол сферы радиуса r равно 3r, если все плоские углы треугольной пирамиды прямые, то расстояние от вершины угла до центра вписанной в этот угол сферы радиуса r равно .

Прежде чем приступать к решению задач на две, три сферы и более, целесообразно решить несколько задач на две, три окружности и более. При этом учащимся полезно знать, что если прямая в точках А и В касается двух внешним образом касающихся окружностей радиусов R₁ и R₂, то длина отрезка АВ равна .

Обучающие задачи

Задача 1. Сечение шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π см² и 25π см². Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 17 см.

Решение.

Пусть СА и КВ – радиусы сечений шара, точка О – центр шара. Для определенности будем считать, что СА>КВ (по рисунку). По условию задачи πСА²=144π, πКВ²=25π, СК=17. Обозначим СО через х. Тогда ОК=17-х. Так как ОА=ОВ (радиусы шара), , или . Находим отсюда х=5 см. Радиус шара см. Площадь полной поверхности шара см².

Задача 2. В основании пирамиды равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна а, а угол при основании α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти площадь поверхности вписанной в пирамиду сферы.

Решение.

Так как боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то ортогональная проекция вершины пирамиды совпадает с центром О вписанной в треугольник ADB (AB=AD=a, ) окружности. Пусть точка К – середина стороны BD, тогда центр С вписанной в пирамиду сферы есть точка пересечения высоты ТО и биссектрисы угла АТК ( ).

В прямоугольном треугольнике АКВ ( , , ) катет . Из треугольника ВКО ( , , ) находим . В треугольнике СОК ( , , ) катет . Так как отрезок СО равен радиусу R вписанной в пирамиду сферы, то площадь поверхности сферы .

Задача 3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найти объем шара, вписанного в пирамиду.

Решение.

Пусть ABCD – правильная четырехугольная пирамида, точка К – середина отрезка DC. Тогда см, . Центр Е вписанного в пирамиду шара есть точка пересечения высоты ТО и биссектрисы угла ОТК. Из равенства находим см, см. В прямоугольном треугольнике ЕОК катет (см).

Объем шара см³.

Задача 4. В правильную треугольную пирамиду вписан шар, центр которого делит высоту пирамиды в отношении 5:4, считая от вершины. Найдите объем шара, если сторона основания пирамиды равна .

Решение.

Пусть TABCD – правильная треугольная пирамида. Основание высоты, проведенной из вершины Т, совпадает с центром О треугольника АВС ( ), а центр Е вписанного в пирамиду шара есть точка пересечения высота ТО и биссектрисы угла АТК, где точка К – середина ребра ВС. По условию ТЕ:ЕО=5:4.

Из прямоугольного треугольника АКС ( , , ) находим катет . . Так как ЕК – биссектриса, то ОК:ТК=ОЕ:ЕТ. Отсюда находим . В прямоугольном треугольнике ТОК ( , , ) катет . . Объем шара .

Задача 5. Около правильной четырехугольной пирамиды описана сфера. Найдите площадь поверхности сферы, если сторона основания пирамиды равна , а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом .

Решение.

Центр Е сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды ТАВСD, совпадает с точкой пересечения высоты ТО и серединного перпендикуляра к боковому ребру (например, к ребру ТС). , (смотри рисунок). По условию , .

Из прямоугольного треугольника ADC находим . . Так как , то Следовательно, треугольник АТС равносторонний и .

Площадь поверхности сферы .

Задача 6. Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямы, , , . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.

Решение.

В качестве плоскости основания рассмотрим плоскость SAB, , , центр окружности, описанной около SAB – точка L (середина гипотенузы АВ), через точку L проведем прямую . На лежат точки равноудаленные от вершин S, A, B; . Через точку М (SM=MC) проведем MO, , . Тогда SO=OC. Следовательно, точка О равноудалена от А, В, С, S – центр сферы. , , .

Задача 7. В пирамиде ABCD , , . Найти радиус сферы вписанной в эту пирамиду.

Решение.

Центр сферы, вписанной в треугольную пирамиду, лежит на пересечении биссекторных плоскостей CMD и ANB (на прямой MN). , , , , , . Пусть О – центр вписанной сферы, r – ее радиус, проведем и , . Обозначим , . Из прямоугольных треугольников NMB и NMD находим , , тогда , , .

Задача 8. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом β. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Найти объем пирамиды.

Решение.

Центр вписанного шара лежит на пересечении высоты SH и биссекторной плоскости AOD двугранного угла при основании. , , . Пусть , тогда , . ; .

. . .

Задача 9. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α, вписан шар. Объем конуса равен V. Найти объем шара.

Решение.

Рассмотрим осевое сечение конуса, . Пусть , , ,

. Объем шара .

Задача 10. Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, имеет длину h и составляет с одним из катетов угол α.

Решение.

Учитывая, что диаметр шара равен высоте призмы, рассмотрим сечение, проходящее через центр шара параллельно плоскости основания. , , , , . Радиус вписанного в треугольник круга определим по формуле (он же радиус шара, вписанного в призму). . Объем призмы равен .

Задача 11. Два конуса имеют общую высоту, но вершины их лежат в разных концах высоты. Образующая первого конуса равна , а угол при вершине его осевого сечения равен 2α. Угол при вершине в осевом сечении второго конуса равен 2β. Найти объем общей части конуса.

Решение.

Рассмотрим сечение, проходящее через общую высоту конусов. Искомый объем V равен сумме объемов конусов O₁MN и OMN. Поэтому . Но , с другой стороны .

Задача 12. Три шара радиуса R лежат на плоскости и касаются друг друга. Найти радиус шара, касающегося трех данных и плоскости.

Решение.

Рассмотрим вид сверху. Пусть О₁, О₂, О₃ – центры больших шаров радиусов R, касающихся друг друга, а r – радиус маленького, касающегося плоскости и данных шаров. Соединив О и О₁ и спроектировав на плоскость, получим трапецию ОО₁ВА, где ; ; , , (как медианы равностороннего треугольника О₁О₂О₃ со стороной 2R).

Из прямоугольного треугольника ОО₁К: .

Задача 13. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом α между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основания угол φ. Найдите объем этой пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.

Решение.

, . вписан в окружность радиуса R. (теорема синусов) .

, , .

Задача 14. В конусе даны длина окружности основания С и угол α между образующей и основанием. Найти длину линии, по которой взаимно касаются боковая поверхность конуса и поверхность вписанного шара.

Решение.

На рисунке показано осевое сечение конуса м вписанного в него шара. ; . . . .

Задача 15. Основанием четырехугольной призмы служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Какую длину должна иметь высота пирамиды, чтобы радиус шара, описанного около пирамиды, был наименьшим, если объем пирамиды равен 72?

Решение.

ABCD – квадрат. SC=H. AS>BS, AS>DS; AS>AC; . Следовательно, – диаметр описанного шара. ; . .