4.6.Комбинации цилиндров, конусов, многогранников

1.Цилиндр и конус.

Определение.

Цилиндр (усеченный конус) называется вписанным в конус, а конус – описанным около цилиндра (усеченного конуса), если одно основание цилиндра (усеченного конуса) является сечением конуса, параллельным его основанию, а второе основание цилиндра (усеченного конуса) лежит на основании конуса (причем основание усеченного конуса меньше основания конуса.

Определение

Конус называется вписанным в цилиндр (в усеченный конус), а цилиндр (усеченный) - описанным около конуса, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра (усеченного конуса), а вершина конуса лежит в центре основания цилиндра (усеченного конуса).

Определение.

Цилиндр называется вписанным в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около цилиндра, если одно основание цилиндра совпадает с меньшим основанием усеченного конуса, а второе основание цилиндра лежит на большем основании усеченного конуса.

Определение.

Усеченный конус называется вписанным в цилиндр, а цилиндр - описанным около усеченного конуса, если большее основание усеченного конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а меньшее основание конуса лежит на втором основании цилиндра .

Определение.

Конус называется вписанным во второй конус, а второй конус описанным около первого, если основание первого конуса является сечением второго, параллельным его основанию, а вершина первого конуса совпадает с центром основания второго.

Отметим основные факты при перечисленных комбинациях тел вращения:

- оси тел вращения лежат на одной прямой;

- во всякий конус можно вписать бесконечное множество различных

цилиндров (усеченных конусов);

- в цилиндр (усеченный конус) можно вписать только один цилиндр;

- в усеченный конус можно вписать бесконечное множество других

усеченных конусов;

- в цилиндр можно вписать бесконечное множество усеченных

конусов;

- в конус можно вписать сколь угодно других конусов.

Возможны иные комбинации перечисленных выше круговых тел. Например, цилиндр может быть вписанным в конус так, что он боковой поверхностью касается основания конуса, а каждая из окружностей оснований цилиндра касается кроме основания конуса его боковой поверхности в одной или двух точках и т.д.

2.Многогранники и цилиндр.

Определение.

Цилиндр называется вписанным в призму, а призма - описанной около цилиндра, если основания цилиндра вписаны в основания призмы.

В призму можно вписать цилиндр, если и только если призма прямая и в ее основание можно вписать окружность.

Во всякую прямую треугольную призму и во всякую правильную призму можно вписать цилиндр и только один.

Определение.

Призма называется вписанной в цилиндр, а цилиндр - описанным около призмы, если основания призмы вписаны в основания цилиндра.

Около призмы можно описать цилиндр, если и только если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Около всякой прямой и около всякой правильной призмы можно описать цилиндр и только один.

Определение.

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, пирамида - описанной около цилиндра, если одно основание цилиндра лежит на основании пирамиды, а другое вписано в сечение пирамиды плоскостью этого второго основания.

В пирамиду можно вписать цилиндр, если и только если в основание пирамиды можно вписать окружность и основание высоты пирамиды лежит на основании пирамиды.

Во всякую правильную и во всякую треугольную пирамиду можно вписать цилиндр.

Если в пирамиду можно вписать цилиндр, то в нее можно вписать бесконечное множество цилиндров.

Определение.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, а пирамида - вписанной в цилиндр, если основание цилиндра описано около основания пирамиды, а второе основание цилиндра содержит вершину пирамиды.

Около пирамиды можно описать цилиндр, если и только если около основания пирамиды можно описать окружность и основание высоты пирамиды содержится внутри этой окружности. Около всякой правильной и около всякой треугольной пирамиды можно описать цилиндр.

Определение.

Цилиндр называется вписанным в усеченную пирамиду, а усеченная пирамида - описанной около цилиндра, если одно основание цилиндра вписано в меньшее основание усеченной пирамиды, а второе основание цилиндра лежит на большем основании пирамиды.

Цилиндр можно вписать в усеченную пирамиду, если и только если в основании пирамиды можно вписать окружность и любая точка меньшего основания усеченной пирамиды проектируется во внутреннюю область большего ее основания.

Во всякую правильную усеченную пирамиду можно вписать цилиндр. В треугольную усеченную пирамиду можно вписать цилиндр, если любая точка меньшего основания проектируется во внутреннюю точку его большего основания.

Определение.

Цилиндр называется описанным около усеченной пирамиды, а усеченная пирамида - вписанной в цилиндр, если одно основание цилиндра описано около большего основания усеченной пирамиды, а другое основание цилиндра содержит все точки меньшего основания пирамиды.

Цилиндр можно описать около усеченной пирамиды, если и только если около ее основания можно описать окружность и все точки меньшего основания пирамиды проектируется вовнутрь окружности, описанной около ее большего основания.

Около всякой правильной усеченной пирамида можно описать цилиндр.

Возможны иные комбинации с многогранниками.