Вопрос 25. Невозможность деления на нуль (с доказательством). Правила деления суммы, произведения на число, числа на произведение (с доказательством). Понятие деления с остатком.

С точки зрения алгебры, делить на ноль нельзя, так как это не имеет никакого смысла. Возьмём два произвольных числа, a и b, и умножим их на ноль. a × 0 равно нолю и b × 0 равно нолю. Получается, что a × 0 и b × 0 равны, ведь произведение в обоих случаях равно нолю. Таким образом, можно составить уравнение: 0 × a = 0 × b. А теперь предположим, что мы можем делить на ноль: разделим обе части уравнения на него и получим, что a = b. Получается, что если допустить операцию деления на ноль, то все числа совпадают. Но 5 не равно 6, а 10 не равно ½. Теорема: Деление на нуль невозможно.

Доказательство: Пусть а Î N, а в = 0.

1. Если а ≠ 0 и частное а и в существуют, тогда найдется с Î Z0, что а= с• 0, Þ а = 0. Мы пришли к противоречию с условием Þ частное чисел а ≠ 0 и в = 0 не существует. 2. Если а = 0 и частное а = 0 и в = 0 существует, тогда найдется с Î Z0 и выполняется равенство 0 =с• 0, истинное при любых значениях с Þ частноеа = 0 и в = 0 может быть любым числом Î Z0, т.е. результат деления определяется не единственным образом, а это невозможно. Поэтому в математике считают, что деление на 0 также невозможно. Если число а получено в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А), то это же число может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В: а = n(В). Число же «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества 0 = n (ø). Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1 начинается в 3 классе (1–4) с включения в ряд предложенных примеров вида: 0 • 8; 1 • 5; 0 • 18 и т.д. Эти примеры дети решают на основе конкретного смысла умножения путем сложения одинаковых слагаемых, например: 0 • 8 = 0+0+0+0+0+0+0+0 = 0 или 1 • 5 = 1+1+1+1+1 = 5

1. Деление суммы. (a + b) : c = a : c + b : c.

Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить. Пример:

(545 + 75) : 5 = 545 : 5 + 75 : 5 = 109 + 15 = 124.

2. Деление произведения.

Чтобы разделить произведение нескольких чисел на число, можно разделить на это число любой из сомножителей, оставив остальные без изменения. Пример:

и

3. Деление на произведение.

Чтобы разделить число на произведение нескольких чисел, можно разделить это число на первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и так далее до конца. Приме:

и

Разделить с остатком число a на число b - значит найти два таких числа c и n (частное и остаток), что:

Что бы разделить число с остатком, нужно:

1. Подобрать близкое к делимому число, которое меньше делимого и делителя на делитель без остатка; 2. Выполнить деление; 3. Найти остаток - из делимого вычесть число, которое разделили. Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Пример: 19 : 4 = 4 (остаток 1), 19 = 4 • 4 + 3; Объясним правило на данном примере:

1. Подбираем близкое к 19 число, которое меньше 19 и делится на 4 без остатка. Это число 16;

2. Делим 16 на 4, получаем 4; 3. Находим остаток: 19 - 16 = 3. Сравниваем остаток с делителем: 3 < 4. Значит, частное найдено верно. 4. Значит, 19 : 4 = 4 + 3 (остаток).

Что бы проверить деление с остатком нужно: 1. Остаток сравнить с делителем (остаток должен быть меньше делителя); 2. Частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. Если получится делимое, то пример решен верно.