Лабораторная работа № 3. Приближенные вычисления с заданной точностью

Цель работы – освоить вычисления по рекуррентным последовательностям.

Рекуррентная последовательность – это такая бесконечная числовая последовательность x₀, x₁, …, x_n, …, что

Например, если p = 1, то получим последовательность

x_i = f (i, x_i-1), i ≥ 1,

x₀ = a₀.

Если задана рекуррентная последовательность, то на ней можно сформулировать некоторые задачи.

Задача 1. Вычисление N-го элемента последовательности

Для простоты рассмотрим случай, когда p = 1.

N – номер элемента (должен быть задан).

I – номер очередного элемента.

I, N – целые.

Схема алгоритма будет следующая:

X := A0;

I := 1

WHILE I<=N DO

BEGIN

X := f (I, X);

I := I + 1

END;

Чтобы дойти до N-го элемента, цикл проработает N раз.

Задача 2. Вычисление суммы конечного числа элементов рекуррентной последовательности

Процесс вычисления суммы можно представить как процесс нахождения члена S_N рекуррентной последовательности:

S₀ = 0;

S_{i =} S_i-1 + x_i = f₁(i, S_i-1 ), 1 ≤ i ≤ N

Тогда получим следующий алгоритм.

S := 0;

I := 1;

X := a0;

WHILE I <= N DO

BEGIN

S := S + X;

X := f (I, X);

I := I + 1

END;

Если мы знаем, сколько раз должен проработать цикл, можно использовать оператор цикла FOR.

Задача 3. Вычисление бесконечных сумм

.

Задача вычисления бесконечной суммы имеет смысл, когда эта сумма сходится к некоторому конечному значению. Так, например,

Иногда с помощью таких сумм вычисляют функции. Например:

Такое представление функции называется её разложением в ряд.

Любое вещественное число можно представить с помощью конечного числа цифр, то есть всегда приближенно. Следовательно, и бесконечную сумму можно вычислить только приближенно, с заданной точностью. Ограничимся конечным числом элементов суммы. Для нахождения критерия окончания вычислительного процесса используем тот факт, что при увеличении номера i эти элементы убывают по абсолютной величине. Поэтому одним из распространенных критериев является следующий: включать в сумму только те члены последовательности, которые по модулю больше или равны некоторой заданной величине ε.

Тогда

где N – таково, что

Таким образом, сумма всех отброшенных элементов будет либо меньше, либо ненамного больше ε.

Часто в таких суммах можно последующий элемент вычислить с помощью предыдущего. Тогда нужно выразить (i+1)-й через i-й или i-й через (i-1)-й, а не считать непосредственно каждый элемент.

Пример для е^t

то есть  формула пересчета.

Тогда алгоритм запишется следующим образом:

S := 1; I := 1; x:=1;

WHILE ABS (x) >= Eps DO

BEGIN

x := x * T / I;

S := S + x;

I := I + 1

END;

Варианты заданий к лабораторной работе

1. Написать алгоритм, реализующий процесс вычислений по итерационной формуле Ньютона , , .

Процесс вычислений закончить при достижении условия . Алгоритм оформить в виде функции, х ввести с клавиатуры.

2. Вычислить значение функции с точностью , где х изменяется от 0.2 до 2 с шагом 0.1. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

3. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от 0 до 0.5 с шагом 0.01. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

4. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от 0 до 8 с шагом 0.5. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

5. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от минус  до  с шагом /8. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

6. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от 0 до 2 с шагом /8. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

7. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от 0.2 до 2 с шагом 0.1. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

8. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от минус 5 до 5 с шагом 0.5. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

9. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от минус 1 до 1 с шагом 0.1. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

10. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от 2 до 10 с шагом 0.5. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

11. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от 0 до  с шагом /20. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

12. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от минус 0.5 до 0.5 с шагом 0.1. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

13. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от минус 2 до 2 с шагом 0.5. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

14. Вычислить значение функции с точностью , x изменяется от минус 2 до 1 с шагом 0.2. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

15. Вычислить значение функции с точностью , где x изменяется от 0 до 1 с шагом 0.1. Вычисление у оформить как функцию, результаты вывести в виде таблицы.

16. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.

17. Вычислить значение функции с точностью , где x изменяется от 0 до 1 с шагом 0.1.

Вычисление у оформить как функцию.

18. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.

19. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.

20. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.

21. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.

22. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.

23. Вычислить значение функции с точностью (задать с клавиатуры). Вычисление у оформить как функцию.