12) Операции над -арными отношениями.
Над графами -арных отношений производятся все теоретико-множественные операции по обычным правилам: объединения, пересечения, взятия разности и симметричной разности, взятия декартова произведения.
Обобщением
операции инверсии бинарных отношений
служит операция перестановки элементов
-ок,
в результате которой получается отношение
с перестановками. В частности, если
порядок перестановки определяется
следующим правилом для индексов множеств:
,
то отношение с перестановками называется
обратным к
и обозначается
.
13) Композиция и декомпозиция
Будем различать последовательную, параллельную и параллельно-последовательную операции композиции и соответствующие им операции декомпозиции.
Последовательной
композицией
-арного
отношения
с графом
и
-арного
отношения
с графом
называется
-арное
отношение
с графиком
.
Последовательная
декомпозиция отношения с графиком
заключается в расчленении этого отношения
на два:
-арное
и
-арное,
описываемые графиками
и
при условии введения такого дополнительного
множества
,
что для каждого кортежа
находится некоторое
,
для которого имеет место
и
.
Пусть
,
,
...,
- графики ряда отношений с общим множеством
.
Параллельной
композицией этих отношений называется
отношение
с графиком
,
удовлетворяющим следующему условию:
Очевидно,
параллельная декомпозиция отношения
приводит к отношениям
,
,
...,
.
Комбинация последовательной и параллельной композиции (декомпозиции) приводит к операции параллельно-последовательной (последовательно-параллельной) композиции (декомпозиции).
Рассмотрим
композицию отношений с графиками
,
,
,
,
...,
,
.
Произведя
вначале попарную последовательную
композицию, получим вместо
отношений
отношений с графиками следующего вида:
(
).
Далее
проводим параллельную композицию
полученных отношений:
.
Операция декомпозиции имеет противоположный порядок.
14) Распространения и обратные распространения отображений
При
заданном семействе отображений
некоторых необязательно различных
множеств
в
отображение вида
называется каноническим распространением
отображений на произведение множеств.
Обратным
каноническим распространением отображения
называется соотношение
.
15) Канонические распространения отображений и морфизмы отношений
Если
для канонического распространения
отображений
выполняется
,
то оно называется гомоморфизмом. Если
для гомоморфизма выполняется условие
,
то он называется изоморфизмом.
16) Отображение ступеней шкалы множеств
Каноническим
распространением отображений по схеме
на шкале множеств называется отображение
из ступени одной шкалы множеств в ступень
другой шкалы множеств при условии, что
эти шкалы имеют одинаковое число базисных
множеств
,
,
задана система отображений
и рассматриваемые ступени
и
имеют одинаковую схему
построения последовательности множеств
и
конструкции ступени.
17) Построение математической структуры
Математическая структура представляет собой совокупность подмножеств некоторых множеств, формируемых над базисными множествами посредством декартовых произведений и булеанов и удовлетворяющих аксиомам структуры.
Математическая структура строится на шкале множеств следующим образом.
Вводится
некоторое число базисных
множеств,
на которых строится шкала. Далее задаются
схемы конструкции ступеней
,
которые определяют порядок образования
последовательности множеств
.
Из последнего множества
выделяется подмножество, удовлетворяющее
аксиоматике данной математической
структуры.
Ступенью над базисными множествами , построенной по схеме и обозначаемой , называется такое множество , определение которого производится за шагов путем последовательного построения множеств в соответствии с заданной схемой образования (схемой конструкции) ступени – схемой .
Элементы последнего кортежа представляют собой пары , определяющие из последовательности построенных множеств по следующему правилу:
а) если и , принимается ;
б) если и , принимается ;
в) если и , принимается .