§2. Задачи, приводящие к понятию тензора второго ранга.
Рассмотрим два физических явления, для описания которых недостаточно знаний только о векторах.
Электропроводность кристаллов.
Рассмотрим
проводник в электрическом поле.
Электрическое поле – это векторное
поле и характеризуется вектором
напряженности поля
,
где
– точка той области пространства, где
задано поле. Электрическое поле – это
потенциальное поле, т.е. существует
такое скалярное поле
,
что его градиент пропорционален вектору
,
а именно
(2)
Скалярное
поле
называется потенциалом электрического
поля. Можно провести аналогию между
скалярным полем
и хорошо известным студентам МИТХТ
скалярным полем температур
.
Скалярное температурное поле
порождает векторное поле своего
градиента:
(3)
Вектор
,
как известно, называется вектором
плотности теплового потока и вполне
аналогичен вектору напряженности
.
Если
в проводнике имеется электрическое
поле, то в проводнике возникает
электрический ток, характеризуемый
вектором плотности тока
.
Вектор
определяет ток через единицу поверхности,
перпендикулярную направлению тока.
Если проводник изотропен и выполняется
закон Ома, то вектор
параллелен вектору поля
и модуль
пропорционален модулю
.
Поэтому можно записать:
(4)
где
–
удельная электропроводность (рис 1а).
Если в некоторой
прямоугольной системе координат
и
,
то формулу (4) можно переписать в виде:
,
,
(5)
т.е. компонента вектора порождает только одну компоненту вектора вдоль той же оси.
Если
же проводник представляет собой
анизотропный кристалл, то соотношение
между векторами
и
не будет таким простым. Для кристаллов
каждая компонента вектора
линейно зависит от всех трех компонент
поля
,
т.е.:
(6)
Отсюда
следует, что вектор
не коллинеарен вектору
(рис 1б). Каждый из коэффициентов
имеет определенный физический смысл.
Например, если поле приложено вдоль оси
(рис 2), то
и уравнения (6) принимают вид:
,
,
(7)
Т.е. имеются компоненты тока не только вдоль оси , но и вдоль двух других осей.
определяется коэффициентом
,
а две поперечные – коэффициентами
и
.
Аналогично, коэффициент
определяет компоненту
,
параллельную оси
,
когда поле приложено вдоль оси
.
Таким образом, для того чтобы определить
электропроводность кристалла, нужно
задать девять коэффициентов
,
,…
.
Для удобства их можно записать в виде
матрицы:
(8)
Эта матрица обозначает тензор 2-го ранга, а элементы матрицы называются компонентами (или координатами) тензора. В данном случае он называется тензором электропроводности. Матрица тензора (8) записана для вполне определенной системы координат. Однако сам тензор электропроводности характеризует свойства кристалла независимо от системы координат. Не изменяется он и при изменении электрического поля в кристалле. Все это свидетельствует о том, что тензор электропроводности и другие, подобные ему тензоры, характеризующие свойства кристаллов, является инвариантным объектом, существующим независимо от системы координат и столь же реальным, как и сам кристалл. Но вот представление тензора (т.е. его компоненты) в разных системах координат различно. Это означает, что матрица (8) изменяется при изменении системы координат.
Нахождение правила, по которому преобразуются компоненты тензора при преобразовании системы координат, является одной из задач тензорного анализа.