2 Определение оптимального расположения автостоянок в системе statistica

Для наглядности рассмотрим сначала одномерный случай решения проблемы размещения автостоянки. В таблице 1 показаны гипотетические данные потребностей потребителей в двух стоянках. В координатах 3 и 8 наблюдаются максимумы потребностей.

Таблица 1 – Гипотетические данные потребностей в стоянках

x – координата	n – гипотетические потребности в стоянках, чел.
1	100
2	150
3	200
4	150
5	100
6	100
7	150
8	200
9	150
10	100

Предварительно построим график в пакете STATISTICA [8], [9], чтобы визуально убедиться, что предположение суммы нормальных законов распределения не лишено смысла: 2D Graphs  Bar/Column plots. В появившемся окне выбрать Graph type: regular, в следующем подокне: select variables: var1, var2. Данные на графике имеют следующий вид (рисунок 1).

Данные аппроксимируем суммой одномерных нормальных законов распределения, умноженных на коэффициенты N'_j :

Рисунок 1 – Гипотетические потребности потребителей в стоянках

С помощью аппроксимации мы получим значение параметра σ, который нам неизвестен. Параметры N'_j определяем как сумму всех фактических потребностей в 1 и 2 стоянках: N'₁ = N'₂ = 700. В пакете STATISTICA для получения сумм необходимо выделить суммируемые данные, нажать правую кнопку мыши и выбрать Statistics  Columns  Sums. Теперь наша оцениваемая функция выглядит так:

Для аппроксимации данных используем модуль Nonlinear Estimation  Нелинейное оценивание. Выбираем метод обработки User-specified regression, least squares  Определенная пользователем регрессия, метод наименьших квадратов. В подокне Estimated function задаем с помощью формул функцию, параметры которой мы хотим оценить (рисунок 2).

В подокне Model Estimation задается Estimation method  метод оценивания, Start values  начальные значения для неизвестных параметров, Maximum number of iterations  максимальное число итераций, Convergence criterion  критерий сходимости (рисунок 3).

В начальных значениях оцениваемого нами параметра (Start values) установим 1. Необходимо отметить, что используемые в модуле вычислительные процедуры носят итеративный характер. Они строят оценки последовательно, шаг за шагом, начиная с некоторого начального приближения. И если начальные значения выбраны плохо, очень плохим может оказаться и окончательный результат.

После того как оценивание завершено, появляется окно Results (рисунок 4).

Нажимая последовательно на кнопки в этом окне, мы получим результаты оценивания. Можно пронаблюдать за вычислениями компьютера, нажав на кнопку Iteration history во вкладке Quick. В таблице будут показаны Loss Function  Функция потери на каждой итерации и b1  оценка параметра. Процесс оценивания нашей функции сошелся на 6-ой итерации (таблица 2).

Рисунок 2 – Задание оцениваемой функции

Рисунок 3 – Окно выбора метода и начальных установок

Рисунок 4 – Окно результатов оценивания параметров

Таблица 2 – История оценивания параметра

Iteration	Loss Function	b1
1	169,7052	1,000000
2	53,9032	1,339550
3	38,2432	1,468840
4	38,1871	1,477387
5	38,1870	1,477034
6	38,1870	1,477051

Теперь просмотрим результаты графически, нажав на кнопку Fitted 2D. На рисунке будет изображен график подогнанной функции вместе и исходными данными (рисунок 5).

Рассматривая график, визуально можно сказать, что функция достаточно хорошо подошла к данным. Нажав на кнопку Summary, мы увидим значение и статистику оцениваемого параметра. Итак, аппроксимация по нашим данным дала значение коэффициента σ = 1,477. В таблице также показано значение t-критерия Стьюдента для коэффициента (t-value). При уровне значимости  = 5 % принимается гипотеза Н₁ о значимости коэффициента (Р < 0.05).

В таблице Analysis of Variance показан дисперсионный анализ, на основе которого при уровне значимости в 5 % можно принять гипотезу Н₁ об адекватности уравнения регрессии (Р < 0.05).

Далее посмотрим расчетные значения и остатки, нажав на кнопку Observed, predicted, residual vals. Мы увидим таблицу с прогнозируемыми значениями потребностей в стоянках (таблица 3).

Рисунок 5 – График кривой, подобранной к данным

Таблица 3 – Расчетные данные и остатки по модели

х	Observed	Predicted	Residuals
1	100,0000	75,5960	24,40404
2	150,0000	150,3914	-0,39140
3	200,0000	189,6798	10,32021
4	150,0000	155,1737	-5,17372
5	100,0000	99,6273	0,37268
6	100,0000	99,6273	0,37268
7	150,0000	155,1737	-5,17372
8	200,0000	189,6798	10,32021
9	150,0000	150,3914	-0,39140
10	100,0000	75,5960	24,40404

На основании этой таблицы мы можем принять решение о месторасположении новой стоянки по максимальному значению расчетных данных. Так как у нас два максимума, равных 189,68, то необходимо выбрать один из них на основании дополнительных данных. Например, у нас есть информация, что в координате х = 3 создание новой автостоянки проще из-за наличия подходящей ровной площадки. Сымитируем размещение в этой координате стоянки, например, на 100 машиномест. Для этого необходимо изменить оцениваемую функцию на величины N''_j, рассчитываемые по формулам (2):

;

,

где N_п  масштаб стоянки (100 м/м); r₁ – расстояние от новой стоянки до максимального значения потребностей в первой стоянке: ; r₂ – расстояние от новой стоянки до максимального значения потребностей во второй стоянке: .

После учета расчетов функция распределения примет вид:

Вводим измененную функцию в окне Estimated function пакета STATISTICA и вновь просматриваем результаты нелинейной регрессии. По графику видно как пропорционально снизились потребности в стоянках из-за появления новой стоянки (рисунок 6).

Значение оцениваемого коэффициента σ немного изменился и равен 1,43. Таблица расчетных значений и оценок дает возможность увидеть численное значение нового непрерывного распределения (таблица 4).

Таблица 4 – Расчетные данные и остатки по модели, учитывающей новую стоянку

х	Observed	Predicted	Residuals
1	100,0000	62,8935	37,10647
2	150,0000	131,1681	18,83194
3	200,0000	167,9651	32,03494
4	150,0000	135,0207	14,97932
5	100,0000	84,4526	15,54744
6	100,0000	91,8546	8,14542
7	150,0000	156,3227	-6,32269
8	200,0000	195,8267	4,17329
9	150,0000	153,0204	-3,02045
10	100,0000	73,3754	26,62459

Рисунок 6 – График потребностей с учетом новой стоянки, расположенной в координате 3

В двумерном случае решение задачи нахождения оптимального местоположения при размещении стоянки происходит аналогичным образом.