Проверка гипотез о равенстве векторов средних в двух совокупностях

2.3 В одномерной биометрии часто встречалась задача, определения степени случайности различий средних арифметических величин, найденных в двух выборках с объемами N₁ и N₂, которые были получены из двух генеральных совокупностей. В этом случае в каждой из выборок можно было иметь средние величины M₁ и M₂ и средние квадратические отклонения s₁ и s₂. Нулевая гипотеза заключалась в предположении о равенстве средних арифметических величин в генеральных совокупностях, альтернативная гипотеза предполагала отсутствие такого равенства. Выбор из этих двух возможностей проводился с использованием t-критерия Стьюдента

M₁ - M₂

t = ,

1 1 ^{1 / 2}

s +

N₁ N₂

где s - некая усредненная оценка среднего квадратического отклонения, полученная по двум выборкам. Усреднение было возможным, если различия двух выборок в уровне вариации были случайными и осуществлялось по формуле

(N₁ - 1) s₁² + (N₂ - 1) s₂^{2 1 / 2}

s = .

N₁ + N₂ - 2

- 20 -

2.4 В многомерном случае (m признаков) эта задача касается уже не отдельных средних величин, а превращается в проверку случайности различий двух векторов средних M₁ и M₂, найденных в двух выборках с объемами N₁ и N₂, которые были получены из двух генеральных совокупностей. Одновременно в этих выборках можно получить ковариационные матрицы S₁ и S₂. Нулевая гипотеза заключается в предположении того, что в двух генеральных совокупностях различия векторов средних отсутствуют, и наблюдаемые расхождения элементов векторов M₁ и M₂ носят случайный характер. Альтернативная гипотеза допускает наличие неоднородности векторов средних в генеральных совокупностях.

Для проверки подобной гипотезы применяется многомерный аналог t-крите-рия Стьюдента. Возведем его в квадрат и выпишем полученный результат в виде

N₁N₂

t² = (M₁ - M₂)(s²)^-1(M₁ - M₂)

N₁ + N₂

Если в этой формуле провести замену средних величин и дисперсии на их многомерные аналоги - векторы средних и ковариационную матрицу, можно получить так называемую T²-статистику Хотеллинга

N₁N₂

T² = (M₁ - M₂)' S^-1(M₁ - M₂) . (2.3)

N₁ + N₂

Входящая в нее общая ковариационная матрица S может быть получена усреднением по формуле

1

S = (N₁ - 1) S₁ + (N₂ - 1) S₂ . (2.4)

N₁ + N₂ - 2

Разумеется, такое усреднение может быть правомочным, если не было установлено различий в ковариационных матрицах S₁ и S₂ . Способ такой проверки изложен ниже в разделе 2.9. Нетрудно видеть, что формула (2.3) обращается в квадрат t-критерия Стьюдента, когда рассматривается только один признак (m = 1).

Доказано, что величина

N₁ + N₂ - m - 1

F = T² , (2.5)

(N₁ + N₂ - 2)

имеет F-распределение Фишера с числами степеней свободы ₁ = m и ₂ = N₁ + N₂ - - m - 1. Таким образом, для принятия решения о нулевой гипотезе следует по таблицам F-распределения для данных чисел степеней свободы и принятого уровня вероятности ошибки 1-го рода найти критическое значение критерия F_o. Если найденная по формуле (2.5) величина F < F_o, то нулевую гипотезу можно сохранить как согласующуюся с эмпирическими данными. В ситуации F > F_o ее придется отвергнуть в пользу альтернативы.

Во многих компьютерных программах для найденного по формуле (2.5) значения F-критерия можно получить P - долю его выборочного распределения, лежащую справа от этого значения. Тогда, при P >  ( = 0.05, 0.01, 0.001) нулевая гипотеза может быть принята, а при P <  - отвергнута.

- 21 -

Таблица 2.2.Результаты проверки случайности различий по некоторым скелетным размерам тела у 12-летних девочек Москвы, обследованных в 1968 и 1972 гг.

Признаки	Средние (мм)		t-критерий	Степени cво-боды	P
	1968 г.	1972 г.
1.Длина тела	1475.8	1498.0	1.86	156	0.064
2.Длина ноги	837.8	857.7	2.61*	156	0.010*
3.Длина руки	479.1	490.6	2.41*	156	0.017*
4.Акромиальный диаметр	316.0	323.8	2.86*	156	0.005*
5.Тазогребневой диаметр	240.6	245.5	1.79	156	0.075

Пример 2.2 Рассмотрим сравнение двух выборок девочек 12-лет, обследованных в школах-интернатах г.Москвы В.С.Соловьевой с соавторами (1976) в 1968 и 1972 гг. Проверим гипотезу о продолжении процессов эпохального увеличения размеров тела и о возможности уловить их проявление даже на столь небольшом временном отрезке.

Рассматривались пять скелетных размеров тела (табл.2.2). Длина ноги оценивалась как высота над полом передней остисто-подвздошной точки, длина руки определялась как сумма продольных размеров плеча и предплечья. В таблице 2.2 приведены значения средних арифметических величин в двух группах девочек 12 лет и результаты проверки гипотезы отсутствия различий по каждому отдельному признаку. Нетрудно видеть, что за 4 года все признаки увеличились, причем для продольных размеров конечностей и ширины плеч эти различия могут считаться неслучайными, так как вероятности ошибки 1-го рода (P) для них оказались меньшими уровня 0.05.

Для T²-статистики Хотеллинга найдена величина T² = 13.95, значение F-критерия для которой - 2.7193. Для чисел степеней свободы ₁ = 5 и ₂ = 152 вероятность ошибки 1-го рода P = 0.022 оказывается меньше уровня  = 0.05 и нулевая гипотеза об однородности векторов средних должна быть отклонена. Таким образом, две выборки девочек 12 лет, обследованные в 1968 и 1972 гг. в Москве неслучайно различаются по комплексу скелетных размеров тела. Этот вывод справедлив и для всего набора признаков, и для некоторых из них, рассматриваемых отдельно.