1.2.2. Задача на использование мощностей оборудования

Предприятие имеет т моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: T_i – время работы каж­дой машины; продукции j-го вида должно быть выпущено не менее N_j единиц.

Необходимо составить такой план работы оборудования, что­бы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность b_i каждой i-й машины по выпуску j-го вида продукции и стоимость с, единицы времени, затрачи­ваемого i-й машиной на выпуск j-го вида продукции. Тем самым требуется определить время x_i работы i-й машины по выпуску j-го вида продукции, обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений на общее время работы машин Г и заданное количество продукции К.

Так как требуется определить минимальные затраты на про­изводство, то целевая функция выражается следующим образом:

(1.2.4)

Так как по условию задачи машины работают заданное вре­мя Т, то данное ограничение можно записать в виде

(1.2.5)

Ограничение на заданное количество продукции будет выгля­деть таким образом:

.

(1.2.6)

Пример. Предприятие должно за время Т выполнить план производства двух видов изделий Р₁ и Р₂. При этом для произ­водства каждого вида может быть использовано оборудование двух групп А₁ и А₂ (т = 2). Производительность каждой группы оборудования различна и задается величиной а_ij, стоимость еди­ницы времени работы оборудования при изготовлении одной единицы продукции выражается величиной b_ij, i, j = 1, 2.

Требуется составить оптимальный план работы групп обору­дования, при котором будет выполнен план выпуска продукции с минимальной себестоимостью и в заданный срок. Плановое количество изделий вида Р₁ составляет не менее N₁ штук (N₁ = 8000), а изделий вида Р₂ – не менее N₂ штук (N_{2 =} 4000). Характеристики процесса производства изделий с помощью оборудования различных групп представлены в табл. 1.3. Ресурсы времени 1-й и 2-й группы оборудования равны 400 и 300 часов соответственно.

Таблица 1.3

Группа оборудования	Производительность оборудования, шт./час		Удельная стоимость, руб./час
	P1	P2	P1	Р2
A1	30 (a11)	20 (a12)	2 (b11)	4 (b12)
А2	40 (a21)	35 (a22)	3 (b21)	2 (b22)

Введем обозначения: – время, в течение которого первая группа оборудования будет производить первый вид изделий; х₁₂ – время, в течение которого первая группа оборудования, будет производить второй вид изделия; х₂₁ – время, в течение которого вторая группа оборудования будет производить первый вид изделий; х₂₂ – время, в течение которого вторая группа оборудования будет производить второй вид изделий.

Составим систему ограничений, учитывающих плановые пе­риоды Т₁, Т₂ и плановые задания количества каждого вида изде­лий N₁, N₂:

(1.2.7)

На переменные х₁₁, х₁₂, х₂₁, х₂₂ налагаются дополнительные ограничения, требующие неотрицательности их значений:

(1.2.8)

Решается задача на минимум затрат на производство. Тогда стоимость изготовления продукции можно записать в виде сле­дующей целевой функции:

.

Окончательно задача формулируется следующим образом. Требуется найти такой план , при котором дос­тигается минимум значения целевой функции

(1.2.9)

при ограничениях (1.2.7), (1.2.8).

В числовых значениях задача будет записана в следующем виде: